5. Монотонность.

Предложение. Функция ( )

1. при нечетном п строго возрастает на R,

2. при четном п строго убывает на и строго возрастает на .

Доказательство. Опираясь на свойства четности, нечетности при различных п, достаточно доказать, что функция на строго возрастает.

Возьмем произвольные . Поскольку для неотрицательных чисел по свойству числовых неравенств из следует , то f строго возрастает на .

6. Поведение функции в бесконечно удаленных точках.

Предложение. (1) ,

(2)

Доказательство. Докажем равенство (1). По определению:

.

При п = 1 доказательство очевидно. Пусть . Для произвольного возьмем . Тогда для любого числа будет выполнено: . Умножив это неравенство на себя п-1 раз, получим: (*). Из неравенств следует (**). Перемножим неравенства (*) и (**), тогда . Проведенные рассуждения означают, что . Равенство (2) следует из свойств четности, нечетности f.

7. Неравенства, связанные со свойствами степенной функции с натуральным показателем.

Предложение. (1) на и на при любом .

(2) Если , то на и на при любых .

Доказательство. (1) Если , то по свойствам числовых неравенств, умножая неравенство на себя п раз, имеем . Если , то аналогично рассуждая, получаем .

(2) Пусть . Тогда и , и по утверждению (1) имеем , т. е. . Если , то, аналогично рассуждая, получаем .

8. Множество значений.

Предложение.

Доказательство. 1. Пусть п четно. Тогда , для всех и, так как функция f при четном п является четной, то для всех .

Осталось доказать, что любое число является значением функции f. Пусть – произвольное действительное число. Поскольку (см. п. 6), то существует такая точка а > 0 на числовой прямой, что . Из непрерывности функции f на R следует ее непрерывность на отрезке . Так как и , то по теореме Вейерштрасса о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции заключаем, что число r является значением функции f в некоторой точке отрезка .

Таким образом, доказали, что , если п четно.

2. Пусть п нечетно и r – произвольное действительное число. Так как и , то существуют точки х₁ и х₂ (х₁ < х₂), для которых . Из непрерывности функции на R следует, что она непрерывна на отрезке . По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции заключаем, что число r является значением функции в некоторой точке отрезка , т. е. . Следовательно, .

9. Ограниченность.

Так как множество значений функции ( ) является неограниченным сверху числовым множеством, то функция f неограниченна сверху при любом п, и, следовательно, неограниченна. Кроме того, , если п четно, – ограниченное снизу множество и , если п нечетно, – неограниченное снизу множество. Таким образом, функция f ограничена снизу при четном п и не ограничена снизу при нечетном п.

10. График функции. Из доказанных в п. 7 неравенств следует, что при график функции на интервале расположен выше графика функции и ниже на интервале .

График степенной функции при п=2 называется параболой, при п=3 – кубической параболой.

п=2

у

1

1

0

х

п=3

п – четное

п – нечетное