§5. Свойства функций: монотонность, четность, нечетность, периодичность, ограниченность

I. Монотонность.

Определение. Функция f называется строго возрастающей¹ на множестве , если для любых точек х₁ и х₂ из множества E, удовлетворяющих неравенству х₁ < х₂, выполняется :

.

Определение. Функция f называется возрастающей² на множестве , если:

Аналогично определяется строгое убывание и убывание функции на множестве³:

Определение. Функция называется монотонной (строго монотонной) на множестве , если она возрастает или убывает (строго возрастает или строго убывает) на этом множестве.

Определение. Функция называется постоянной на множестве , если все ее значения на этом множестве равны между собой:

.

Очевидно, функция постоянна на множестве тогда и только тогда, когда она возрастает и убывает на этом множестве.

Определение. Функция называется монотонной (строго монотонной, постоянной), если она монотонна (строго монотонна, постоянна) на своей области определения.

Геометрически строгое возрастание функции означает, что при движении слева направо по графику функции движение происходит вверх («в горку»), а строгое убывание – это движение вниз («с горки»).

Пример. Рассмотрим свойства, связанные с монотонностью, для функции y = f(х), заданной графически:

Функция y = f(х):

• возрастает на промежутках: (-, x₄]; [x₅, x₆]; [x₆, +);

• строго возрастает на промежутках: [x₁, x₂]; [x₃, 0]; [x₅, x₆];

• убывает на промежутках: [0, x₅]; [x₆, +);

• строго убывает на промежутках: [x₄, x₅]; [x₆, +);

• постоянна на промежутках: [x₂, x₃]; [0, x₄];

• не монотонна.

Пример. Докажем по определению, что функция строго возрастает на множестве .

Пусть х₁ и х₂ - произвольные точки из , удовлетворяющие неравенству х₁ < х₂ . Сравним значения функции в этих точках. Для этого оценим знак разности .

Так как х₁ < х₂, то , а из неравенств и следует, что . Таким образом, оба сомножителя положительны и, значит, . Доказательство завершено.

Замечание. Из возрастания (или убывания) функции на отдельных множествах не следует ее возрастание (убывание) на объединении этих множеств.

Пример. Функция убывает на интервалах(-,0) и (0,+), но не является убывающей на множестве (-,0)(0,+).

Действительно, легко показать, что функция убывает на каждом из интервалов (-,0) и (0,+) (сделайте это самостоятельно).

При этом для точек -1 и 1 из множества (-,0)(0,+) выполнено -1<1 и в то же время , т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Это и означает, что данная функция не является убывающей на множестве (-,0)(0,+).

II. Четность, нечетность.

Определение. Функция f называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля, и значения функции в симметричных точках равны:

1) ,

2) .

Определение. Функция f называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля, и значения функции в симметричных точках являются противоположными по знаку числами:

1) ,

2) .

Свойства четности и нечетности функции легко читаются по графику: график четной функции симметричен относительно оси OY, график нечетной функции симметричен относительно точки начала координат.

По определению графику четной функции принадлежат одновременно точки М(x, y) и N(-x, y), симметричные относительно оси OY, а графику нечетной функции – точки М(x, y) и K(-x, -y), симметричные относительно точки О(0, 0).

Примеры. Исследуем на четность, нечетность следующие функции.

1. .

Проведем исследование по определению. Имеем:

1) R – симметричное относительно нуля множество;

2) для всех R.

Вывод: f – четная функция.

2. .

У данной функции область определения – не симметричное относительно нуля множество.

Вывод: функция f не является ни четной, ни нечетной.

3. .

Исследуя по определению, получаем:

1) – симметричное относительно нуля множество;

2) .

Докажем, что и . Возьмем из области определения функции две симметричные относительно нуля точки, например, -2 и 2, и вычислим в них значения функции. Получим:

, .

Очевидно, и .

Вывод: функция f не является ни четной, ни нечетной.