5. Четность, нечетность.

Предложение. Функция является нечетной.

Доказательство. Углам  и – соответствуют симметричные относительно оси ОХ точки на единичной окружности. Поэтому их ординаты равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, т.е. для любого .

6. Непрерывность.

Лемма. Неравенство справедливо для любого .

Доказательство. Заметим, что при получаем равенство .

П усть (см. рис.). Поскольку длина дуги больше длины хорды, на которую она опирается, то и их половины находятся в таком же отношении: . Так как и , то . Если , то это неравенство выполняется очевидным образом, поскольку .

Пусть . Тогда и по доказанному выше . Воспользовавшись свойством нечетности функции синус, получаем .

Таким образом, неравенство выполняется для любого действительного .

Предложение. Функция непрерывна на R.

Доказательство. Пусть х₀ – произвольная точка числовой прямой. Воспользуемся определением непрерывности функции в точке на языке приращений. Придадим аргументу ненулевое приращение х. Тогда функция получит приращение

.

Пользуясь леммой и ограниченностью косинуса, получаем:

.

Из неравенства и теоремы о пределе промежуточной функции имеем . Следовательно, функция непрерывна в точке х₀. Так как х₀ – произвольная точка числовой прямой, то функция непрерывна на R.

Следовательно, f – нечетная функция.

7. Монотонность.

Предложение. Функция

1) строго возрастает на промежутках ,

2) строго убывает на промежутках .

Доказательство. Опираясь на свойство периодичности синуса, достаточно доказать, что функция строго возрастает на и строго убывает на . Докажем ее возрастание на . Возьмем произвольные точки и , такие что . Покажем, что разность значений функции в этих точках положительна. Из неравенств , и получаем и . Полученным значениям аргументов соответствуют точки единичной окружности, расположенные в I координатной четверти. Поэтому и , следовательно, . Тем самым доказано, что функция строго возрастает на .

Докажем, что функция убывает на отрезке . Для произвольных точек и в этом случае из неравенств , и следует и . Тогда и , следовательно, . Получили . Тем самым доказано, что функция строго убывает на отрезке .

8. Экстремумы функции . Так как функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и , то – точка максимума функции синус, а – ее точка минимума. В силу периодичности функции получаем, что точки являются точками максимума, а точки точками минимума функции .

9. График функции называется синусоидой.

§ 21. Функция и ее свойства

Определение. Функция, которая каждому действительному числу ставит в соответствие его косинус, называется косинусом и обозначается .

1. Область определения. Поскольку значение определено для любого действительного числа , то D_f=R.

2. Множество значений. Так как абсциссы точек единичной окружности по модулю не превосходят единицы, то для любого . С другой стороны, любая вертикальная прямая пересекает единичную окружность хотя бы в одной точке, поэтому любое число а [–1, 1] является значением косинуса некоторого угла. Следовательно, .