5. Поведение функции в граничных точках области определения.

Предложение. и

Доказательство. Пусть  > 0. Равенство следует из непрерывности степенной функции. Вычислим , пользуясь теоремами о пределе композиции. Обозначим . Из свойств логарифма при  > 0 получаем .

Тогда

При  < 0 доказательства следуют из тождества .

6. Множество значений.

7. График функции , .

Построение графика степенной функции

Пусть требуется построить график функции , .

Построим графики показательной и логарифмической функций с одним и тем же основанием: и и график линейной функции .

Возьмем произвольную точку на оси ОХ. Соответствующую точку графика функции обозначим А. Через точку А проведем прямую параллельно оси ОХ. Точку пересечения ее с прямой

обозначим В. Пересечение прямой, проходящей через точку В параллельно оси ОУ, с графиком показательной функции обозначим С. Построим точку D так, чтобы точки A, B, C, D были вершинами прямоугольника.

Докажем, что D является точкой графика функции . По построению точка В имеет ординату . Найдем абсциссу точки В: . Ордината точки С равна значению показательной функции в точке . Таким образом, . Так как по построению ординаты точек С и D равны, то точка D имеет координаты .

Пример. Построим график функции . В качестве вспомогательных будем использовать графики функций , и .

Тригонометрические функции

§ 19. Тригонометрический круг. Понятие синуса и косинуса числа

Н а координатной плоскости построим окружность единичного радиуса с центром в точке О(0,0). Такую окружность будем называть единичной.

Для произвольно взятого действительного числа  построим угол, радианная мера которого равна . Для этого от точки А(1,0) по окружности отложим дугу АМ, длина которой равна || единиц. Если , то откладывать будем против часовой стрелки; если – то по часовой стрелке. Центральный угол , опирающийся на дугу АМ, имеет величину .

Координаты х₀ и у₀ точки М на единичной окружности называются соответственно косинусом и синусом числа .

С помощью тригонометрического круга доказываются формулы приведения, другие тригонометрические тождества. Так, например, основное тригонометрическое тожество немедленно следует из определений синуса, косинуса и уравнения окружности: .

§ 20. Функция и ее свойства

Определение. Функция, которая каждому действительному числу ставит в соответствие его синус, называется синусом и обозначается .

1. Область определения. D_f=R, поскольку значение определено для любого действительного числа .

2. Множество значений. Поскольку ординаты точек единичной окружности по модулю не превосходят единицы, то для любого . С другой стороны, любая горизонтальная прямая , пересекает единичную окружность хотя бы в одной точке, поэтому любое число b[–1, 1] является значением синуса некоторого угла. Следовательно, .

3. Периодичность.

Предложение. Функция является периодической с основным периодом .

Доказательство. Поскольку длина единичной окружности равна 2, то числам  и +2 соответствует одна и та же точка М на единичной окружности. Поэтому и число 2 является периодом функции . Докажем, что это основной период, т. е. никакое положительное число меньшее 2 периодом функции синус не является. Пусть . Сравним значения функции синус в точках и . Углу соответствует точка (0,1) на единичной окружности, т.е. . Так как Т меньше длины единичной окружности, то углу соответствует точка единичной окружности, расположенная ниже точки (0,1). Значит, . Таким образом, . Это показывает, что число Т, , не является периодом функции .

Предложение доказано.

4. Нули функции, промежутки знакопостоянства. Рассмотрим уравнение . Прямая у=0 пересекает единичную окружность в точках (–1,0) и (1,0), которым соответствуют углы 0 и . Учитывая периодичность функции синус, получаем:

.

Поскольку все точки единичной окружности, расположенные в I и II координатных четвертях, имеют положительные ординаты, а точки, расположенные в III и IV четвертях, отрицательные ординаты, то

,

.