5. Поведение функции в бесконечно удаленных точках.

Лемма. при .

Доказательство. Так как , то , где . По неравенству Бернулли: (*). Для произвольного рассмотрим неравенство . Возьмем натуральное . Тогда для любого натурального будет выполнено и в силу неравенства (*) . Это и означает, что .

Предложение. Если , то (1) и (2).

Доказательство. Возьмем произвольное . Поскольку , то существует такое N₀N, что для всех натуральных выполняется неравенство . Пусть . Очевидно, и . Тогда . Возьмем произвольное . Так как показательная функция с основанием строго возрастает, то , следовательно, . Это и означает, что .

Докажем равенство (2). Введем переменную . По доказанному выше, используя свойства степени, получаем:

6. Множество значений.

Предложение. Множеством значений показательной функции при является множество .

Доказательство. 1. Поскольку функция принимает только положительные значения, то .

2. Докажем . Пусть . Так как и , то существуют точки х₁ и х₂, для которых . Из непрерывности функции на R следует, что она непрерывна на отрезке . По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции заключаем, что число r является значением функции в некоторой точке отрезка , т. е. . Следовательно, . Предложение доказано.

7. График функции , .

Свойства показательной функции ,

Пусть , . Обозначим . Очевидно, и по свойствам степени . Тогда свойства показательной функции с основанием являются следствием свойств показательной функции с основанием .

1. Область определения. Так как показательная функция , , определена на R, то и для функции область определения .

2. Монотонность.

Предложение. Функция , строго убывает на своей области определения.

Доказательство. Возьмем произвольные действительные х₁  х₂. Тогда – х₁ > – х₂. Поскольку функция , , строго возрастет на R, то , т. е . Следовательно, функция f строго убывает на R.

3. Нули функции, промежутки знакопостоянства.

Очевидно, функция , , принимает только положительные значения.

4. Непрерывность.

Предложение. Функция , , непрерывна на R.

Доказательство. Так как на R при , то функция непрерывна на R как частное непрерывных функций

5. Поведение функции в бесконечно удаленных точках.

Предложение. Если , то (1) и (2).

Доказательство следует из условия и равенств , при .

6. Множество значений.

Множеством значений показательной функции при является множество .

7. График функции , .

Из тождества следует, что график функции , , симметричен графику функции , , относительно оси ОУ.

§ 17. Логарифмическая функция

Показательная функция ( ) строго монотонна на R, следовательно, обратима.

Определение. Обратная функция для показательной ( ) называется логарифмической функцией и обозначается . Значение логарифмической функции в точке х называется логарифмом числа х по основанию а. При а = 10 значение называется десятичным логарифмом числа х, при а = е значение называется натуральным логарифмом числа х.