§ 12. Степенная функция с положительным рациональным показателем

Из определения степени с рациональным показателем следует, что функция , является композицией функций и , взятых в произвольном порядке. Поэтому свойства функции вытекают из свойств этих функций и свойств композиции функций. Отдельно рассмотрим случаи и .

Свойства функции , где , r > 0.

Пусть , (п, т)=1.

1. Область определения. Для функций и области определения соответственно равны

и .

Следовательно,

2. Непрерывность. Функция непрерывна на своей области определения как композиция непрерывных функций.

3. Четность, нечетность. Для числа , (п, т)=1, рассмотрим следующие случаи.

1) п четно. Функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку ее область определения D_f= не является симметричным относительно нуля множеством.

2) п нечетно, т четно. Поскольку в этом случае функция – четная, то функция также является четной.

3) п нечетно, т нечетно. Функция является нечетной как композиция нечетных функций.

4. Монотонность. В силу свойств четности, нечетности достаточно исследовать функцию на монотонность на множестве .

Предложение. Функция при строго возрастает на .

Доказательство. Функция строго возрастает на , и функция строго возрастает на при любых натуральных т и п. Следовательно, строго возрастает на .

5. Нули функции, промежутки знакопостоянства. Поскольку функции и обращаются в ноль лишь в точке х=0, то тогда и только тогда, когда х=0. Поскольку функция при строго возрастает на , то на . Выводы о знаке функции f на легко следуют из ее свойств четности, нечетности при различных п и т.

6. Неравенства, связанные со свойствами функции , .

Предложение. (1) Если , то на и на .

(2) Если , то на и на .

(3) Если , то на , и на .

Доказательство.

(1) Применяя свойства степенных функций с натуральным показателем и показателем , для функции , где , , получаем:

. Аналогично для х, удовлетворяющих неравенству , получаем .

(2) Если , то . По утверждению (1) на интервале выполняется неравенство . Умножая обе его части на х, получаем . Для интервала (0, 1) рассуждения аналогичны.

(3) Доказывается аналогично.

7. График функции , где , (п, т)=1.

п четно

§ 13. Степенная функция с отрицательным рациональным показателем

Свойства функции , , r < 0.

Степенная функция с отрицательным рациональным показателем представима в виде , где и . Очевидно, ее свойства являются следствиями свойств степенной функции с положительным рациональным показателем.

Пусть , (п, т)=1.

1. Область определения.

2. Непрерывность. Функция непрерывна на своей области определения как частное непрерывных функций.

3. Четность, нечетность.

1) п четно. Функция f не является ни четной, ни нечетной.

2) п нечетно, т четно. Функция f является четной.

3) п нечетно, т нечетно. Функция f является нечетной.

4. Монотонность. Функция f строго убывает на . Выводы о монотонности функции f на следуют из ее свойств четности, нечетности при различных п и т.

5. Нули функции, промежутки знакопостоянства. Очевидно, функция f не имеет нулей, на . Выводы о знаке функции f на легко следуют из ее свойств четности, нечетности при различных п и т.

6. График функции , где , (п, т)=1.

х