Раздел 4 Линейные пространства и подпространства

1. Что называется линейным пространством? Приведите примеры.

2. Что называется линейной комбинацией векторов? Какая система векторов называется линейно зависимой? Какая система векторов называется линейно независимой? Сформулируйте и докажите критерий линейной зависимости системы векторов в произвольном пространстве. Сформулируйте и докажите частные случаи линейной зависимости и независимости системы векторов в произвольном пространстве.

3. Какое линейное пространство называется конечномерным? Что называется размерностью конечномерного линейного пространства? Как обозначаются такие линейные пространства? Какое пространство называется бесконечномерным? Как обозначаются такие линейные пространства?

4. Что называется базисом линейного пространства? Как выбирают базис в конечномерном линейном пространстве? Сформулируйте и докажите соответствующую теорему. Сколько базисов можно выбрать в конечномерном линейном пространстве?

5. Что называется координатами вектора в базисе? Докажите терему о единственности разложения вектора по базису. Сформулируйте и докажите критерий линейной независимости системы векторов в конечномерном линейном пространстве.

6. Что называется матрицей перехода от одного базису к другому в конечномерном линейном пространстве? Запишите соответствующие формулы. Выведите формулы для связи координат одного и того же вектора в двух базисах одного и того же конечномерного линейного пространства.

Раздел 5 Линейные преобразования линейных пространств (линейные операторы)

1. Что называется преобразованием линейного пространства? Преобразования какого вида называются линейными преобразованиями? Опишите алгоритм, согласно которому каждому линейному преобразованию в конечномерном линейном пространстве с фиксированным базисом, ставится в соответствие единственная квадратная матрица. Возможно ли обратное?

2. Выведите формулы для связи матриц одного и того же линейного преобразования в двух базисах одного и того же конечномерного линейного пространства.

3. Докажите инвариантность определителя матрицы линейного преобразования.

4. Какое линейное преобразование называется тождественным? Какое преобразование называется невырожденным? Какое преобразование называется вырожденным? Сформулируйте и докажите критерий невырожденности линейного преобразования конечномерного линейного пространства.

5. Что называется линейным подпространством линейного пространства? Сформулируйте достаточный признак того, что некоторое множество является линейным подпространство линейного пространства. Приведите примеры линейных подпространств.

6. Что называется ядром линейного преобразования? Какими свойствами оно обладает? Что называется множеством значений линейного преобразования?

7. Какими особыми свойствами обладает пространство решений линейной однородной системы? Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения однородной системы m линейных уравнений с n неизвестными. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения неоднородной системы m линейных уравнений с n неизвестными.

8. Какой вектор называется собственным вектором линейного преобразования? Может ли он быть нулевым? Что называется собственным значением линейного преобразования? Сколько различных собственных значений может иметь собственный вектор?

9. Что называется характеристическим многочленом? Как он получается? Запишите вывод. Что называется характеристическим числом линейного преобразования? Докажите, что вид характеристического многочлена линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

10. Что называется спектром линейного преобразования? Какой спектр называется простым? Докажите теорему о независимости системы векторов, составленной из собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям.

11. Когда в линейном пространстве можно выбрать базис из собственных векторов? В каком случае матрица линейного преобразования может быть приведена к диагональному виду?