Раздел 2 Матрицы и определители

1. Что называется матрицей? Как классифицируются матрицы в зависимости от размера? Как классифицируются матрицы в зависимости от значений их элементов? Какие матрицы называются равными?

2. Что называется суммой матриц? Любые ли матрицы можно складывать? Как на практике осуществляется сложение матриц? Какими свойства обладает операция сложение матриц?

3. Что называется разностью матриц? Выведите формулу для определения разности двух матриц.

4. Что называется умножением матрицы на число? Любые ли матрицы можно умножать на число? Как на практике осуществляется умножение матрицы на число? Какими свойствами обладает операция умножения матриц на число?

5. Что называется произведением двух матриц? Всегда ли можно определить умножение двух матриц? Какими свойствами обладает операция умножения двух матриц? Какие матрицы называются коммутативными? Приведите примеры матриц, являющихся коммутативными по отношению к любым матрицам.

6. Какие операции над матрицами называются элементарными преобразованиями матриц? Как называются матрицы, получающиеся одна из другой при помощи элементарных преобразований? Сформулируйте алгоритм приведения матрицы к треугольному виду. Любая ли матрица может быть приведена к треугольному виду?

7. Какая операция над матрицами называется транспонированием матрицы? Сформулируйте и докажите свойства операции транспонирования.

8. Запишите формулы для вычисления определителей 1,2,3 порядков.

9. В каких случаях определитель равен нулю? Сформулируйте соответствующие свойства и докажите.

10. Какие операции над элементами определителя изменяют его величину? Сформулируйте соответствующие свойства и докажите.

11. Какие операции над элементами определителя не изменяют его величины? Сформулируйте соответствующие свойства и докажите.

12. Что называется дополнительным минором и алгебраическим дополнением для элемента определителя? Какими свойствами они обладают?

13. Сформулируйте и обоснуйте практические правила вычисления определителей порядка n ³ 4.

14. Выведите формулу для вычисления определителя двух квадратных матриц.

15. Какая матрица называется невырожденной? Какая матрица называется обратной? У любой ли матрицы существует обратная? Какими свойствами обладает операция нахождения обратной матрицы? Сформулируйте и докажите. Выведите формулу для вычисления обратной матрицы.

16. Что называется минором порядка к для матрицы? Что называется рангом матрицы? Что называется базисным минором? Какие теоремы о рангах Вам известны? Сформулируйте и докажите. Какие практические правила определения ранга матрицы Вам известны? Сформулируйте и обоснуйте. Какие матрицы называются подобными? Как связаны их ранги?

Раздел 3 Системы линейных уравнений

1. Система какого вида называется системой m линейных уравнений с n неизвестными? Что называется коэффициентами при неизвестных? Что называется свободными членами? Что называется решением системы? Решение какого вида называется тривиальным? Решение какого вида называется нетривиальным? Какая существует классификация систем m линейных уравнений с n неизвестными в зависимости от числа решений? Какая существует классификация систем m линейных уравнений с n неизвестными в зависимости от свойств свободных членов?

2. Что называется матрицей системы m линейных уравнений с n неизвестными? Что называется расширенной матрицей системы m линейных уравнений с n неизвестными? Сформулируйте и обоснуйте метод Гаусса решения системы m линейных уравнений с n неизвестными.

3. Что называется определителем системы n линейных уравнений с n неизвестными? Определители какого вида называются вспомогательными определителями для системы n линейных уравнений с n неизвестными. Сформулируйте и докажите правило Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными. Сформулируйте и докажите критерий существования ненулевых решений у системы n линейных уравнений с n неизвестными. Когда система n линейных уравнений с n неизвестными имеет только тривиальное решение? Сформулируйте и докажите.

4. Сформулируйте и докажите теорему Кронекера - Копелли о совместности системы m линейных уравнений с n неизвестными.

5. Сформулируйте и обоснуйте правило применения обратных матриц для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.