8. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале [a,b], если он расположен ниже любой касательной, проведенной к графику в любой точке этого интервала.
График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале [a,b], если он расположен выше любой касательной, проведенной к графику в любой точке этого интервала.
Точка, в которой график функции меняет выпуклость на вогнутость, либо наоборот - вогнутость на выпуклость, назы-вается точкой перегиба графика.
Функция, график которой изображен на рисунке, вы-пукла на интервале [a,c], вогнута на интервале [a,c] и точка с является ее точкой перегиба.
Достаточные условие выпуклости и вогнутости.
1. Если в каждой точке интервала вторая производная положительна f''(x)>0, то график функции является вогнутым на этом интервале.
2. Если в каждой точке интервала вторая производная отрицательна f''(x)<0, то график функции является выпуклым на этом интервале.
Пример 1. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции y=x3+5x-6.
Решение. Имеем y'=3x2+5, y''=6x. Таким образом, y''>0 при x>0 и y''<0 при x<0. Следовательно, кривая выпукла при x<0 и x>0 вогнута при x>0.
Пример 2. Найти экстремумы функции и точки перегиба графика функции y=(x+1)2(x-2).
Решение. Найдем первую и вторую производные y' = 3(x2+1), y'' = 6x. Корни первой производной x1=-1, x2=1. Вычислим значения второй производной в стационарных точках y''(-1)=-6<0, y''(1)=6>0. Следовательно, х1 - точка максимума функции и ymax=0, õ2 - точка минимума функции и ymin=-4. Вторая производная отрицательна при x<0 и положительна при x>0. Значит, график функции выпуклый при x<0 и вогнутый при x>0.
9. Асимптоты.
Прямая линия называется асимптотой кривой y=f(x), если расстояние от точки этой кривой до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала системы координат (то есть при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).
Прямая х=а является
вертикальной асимптотой кривой
y=f(x), если
,
ëèáî
.
Прямая у=b является
горизонтальной асимптотой кривой
y=f(x), если
,
ëèáî
.
Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой кривой y=f(x), если существуют и конечны пределы
Заметим, что кривая может иметь различные асимптоты при x и x-.
Пример. Найти асимптоты кривой y=x+2arctgx.
Решение. Легко проверить, что вертикальных и горизон-тальных асимптот кривая не имеет. Найдем наклонные асимптоты.
.
Значит, прямая y=x+ является правой наклонной асимптотой.
Значит, прямая y=x- является левой наклонной асимптотой.
10. Построение графика фyнкции.
При построении графика функции y=f(x) необходимо выяснить ее характерные особенности. Для этого нужно:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на периодичность четность и не-
четность.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями сис-
темы координат.
4. Исследовать функцию на непрерывность; найти точки
разрыва (если таковые существуют) и установить характер
разрыва. Найти асимптоты кривой.
5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее
экстремумы.
6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика
функции и точки перегиба.
Пример.
Построить график функции y=
.
Решение.
1. Функция определена на всей числовой оси, за исклю-чением точки х=0.
2. Функция не является четной или нечетной.
3. График функции
ось ОУ не пересекает, а ось ОХ пере-секает
в точке х=
.
4. Точка разрыва
функции х=0, причем
;
следо-вательно, прямая х=0 (ось ОУ) является
вертикальной асимптотой графика функции.
Найдем наклонные асимптоты.
.
Наклонная асимптота имеет уравнение у=х.
5. Вычислим первую производную у'=1-8/x3; эта про-изводная обращается в ноль в точке х=2 и не определена при х=0 (точке разрыва функции). Точки х=0 и х=2 разбивают числовую ось на промежутки (-,0), (0,2) и (2,). Первая производная положительна на первом и третьем из них и отрицательна на втором. Значит, функция возрастает на интервалах (-,0) и (2,) и убывает на интервале (0,2). Далее находим y''=24/x4; так как y(2)>0, то х=2 - точка минимума функции и ymin=3.
6. Так как вторая производная всюду положительна, то график функции всюду вогнутый. Точек перегиба график не имеет.
Задача 16. Исследовать функции и построить их
графики.
N. |
Функции |
N |
Функции |
1 |
y= |
6 |
y= |
2 |
y= |
7 |
y= |
3 |
y= |
8 |
y= |
2 |
y= |
9 |
y= |
5 |
y= |
10 |
y= |
;
y=xe2x-1;
;
y=
;
;
y=x-ln(x+1);
;
y=
;
;
y=
;
;
y=(x+4)e-(x+2);
;
y=xe2x-1;
;
y=
;
;
y=
;
;
y=
;