Вимушені коливання

322. Яке із приведених диференціальних рівнянь описує вимушені гармонічні коливання ?

а) б) в)

г) д)

322. Яка головна ознака явища резонансу ?

а) Період загасаючих коливань зменшується. г) Частота вимушених коливань зростає.

б) Амплітуда гармонічних коливань не змінюється. д) А_вим різко зменшується.

в) Амплітуда вимушених коливань зростає.

322. Укажіть значення резонансної циклічної частоти _р при механічних коливаннях.

а) б) в) г) д)

322. Укажіть залежність амплітуди А механічних вимушених коливань від частоти вимушуючої сили .

а) б) в)

г) д)

322. Укажіть значення резонансної амплітуди А_рез механічних вимушених коливань.

а) б) в)

г) д)

322. Вимушуюча сила змінюється за законом f=0,03sin(t) Н. Визначте амплітуду зміщення вимушених коливань вантажу на пружині А_вим у відсутності загасання, якщо його маса m=100 г, а власна циклічна частота коливань ₀=2 Гц.

а) А_вим=0,3 см. б) А_вим=10 см. в) А_вим=25 см. г) А_вим=16 см. д) А_вим=0,1 см.

322. Визначте амплітуду зміщення вимушених коливань А_вим у відсутності загасання для тіла, масою m=400 г, якщо власна циклічна частота коливань ₀=3 с^-1, а рівняння вимушуючої сили має вигляд: F=0,8sin(2t) Н.

а) А_вим=0,4 м. б) А_вим=1,0 м. в) А_вим=0,2 м. г) А_вим=0,6 м. д) А_вим=0,8 м.

322. Параметри одного коливального контура С₁=160 пФ, L₁=5 мГн, а іншого С₂=100 пФ, L₂=4 мГн. Як треба змінити ємність конденсатора С₂, щоб обидва контури були настроєні в резонанс ?

а) Зменшити на 100 пФ. б) Збільшити на 200 пФ. в) Збільшити на 100 пФ.

г) Зменшити на 200 пФ. д) Збільшити на 50 пФ.

322. При якій швидкості руху потягу V амплітуда А вертикальних коливань вагона буде найбільшою, якщо період власних вертикальних коливань вагона Т=1,5 с, а довжина рейки L становить 15 м ?

а) V=36 км/год. б) V=72 км/год. в) V=64 км/год. г) V=48 км/год. д) V=55 км/год.

322. При якій швидкості руху потягу V підвішений у вагоні математичний маятник довжиною l=1 м почне максимально розгойдуватись, якщо довжина рейок L дорівнює 25 м ?

а) V=9,6 м/с. б) V=18,3 м/с. в) V=21,2 м/с. г) V=15,4 м/с. д) V=12,5 м/с.

ОСНОВИ ТЕОРІЇ З РОЗДІЛУ “Хвильові процеси”

Хвильовим процесом (хвилею) називають процес поширення коливань у просторі. По фізичній природі розрізняють хвилі механічні, хвилі на поверхні рідини та електромагнітні хвилі. Механічні (пружні) хвилі є механічними збуреннями, які поширюються у пружному середовищі. При поширенні хвилі, частинки середовища коливаються навколо своїх рівноважних положень. Поверхневі (або двовимірні) хвилі є поширенням збурень уздовж поверхні розділу двох середовищ (наприклад, хвилі на воді). Властивості електромагнітних хвиль будуть розглянуті нижче. Основна властивість всіх видів хвиль – перенесення ними енергії без перенесення речовини. Разом із хвилею від частинки до частинки середовища передається стан коливального руху та його енергія. Поздовжніми називаються хвилі, у яких коливання частинок середовища здійснюються у напрямку поширення хвилі. Такі хвилі пов'язані із пружними деформаціями стиснення та розтягання, і можуть поширюватись і у твердих тілах, і у рідинах, і у газах. Поперечними називаються хвилі, в яких коливання частинок середовища здійснюються у напрямках, перпендикулярних напрямку поширення хвилі. Такі хвилі пов'язані із пружними деформаціями зсуву, і можуть поширюватись тільки у твердих тілах.

Пружна хвиля називається гармонічною, якщо відповідні їй коливання частинок середовища є гармонічними. Джерелом гармонічних хвиль є будь-яке тіло, яке здійснює гармонічні коливання. Коливальні рухи джерела коливань передаються сусіднім точкам середовища, які в свою чергу передають їх дальшим від джерела точкам. Таким чином, коливання джерела поширюються у навколишньому просторі із кінцевою швидкістю V, званою швидкістю хвилі. Відстань у просторі, на яку поширюється хвиля протягом одного періоду коливань джерела, називається довжиною хвилі . Інакше, довжиною хвилі називають відстань між найближчими частинками середовища, які коливаються у однакових фазах (синхронно). За визначенням, зв'язок між довжиною хвилі та швидкістю її поширення: =VT, або V= ( - частота, а Т – період коливань джерела). Графік поперечної гармонічної хвилі є залежністю між зміщенням у частинок середовища, які беруть участь у хвильовому процесі, та відстанню х цих частинок від джерела коливань для будь-якого фіксованого моменту часу t. Хоча зовні графік гармонічної хвилі співпадає із графіком гармонічного коливання, вони розрізняються по суті. Якщо графік хвилі відображає миттєву картину (фотографію) розподілу збурень всіх частинок середовища уздовж напрямку її поширення від джерела коливань в даний момент часу, то графік гармонічного коливання відображає залежність зміщення даної частинки від часу. Якщо рівняння коливань джерела хвиль (із координатою х=0) має вигляд у(0,t)=Acos(t+₀), то ці коливання досягнуть деякої точки простору В, яка знаходиться на відстані х від джерела, через проміжок часу =x/V. Отже, коливання точки В можна описати рівнянням:

Це - рівняння плоскої хвилі, яка поширюється уздовж позитивного напрямку осі х. Його можна записати у дещо іншому вигляді: де величина k=/V=2/TV=2/ називається хвильовим числом,

у(х,t) – зміщення точки середовища із координатою х у момент часу t. Очевидно, що хвильовий процес – це коливальний процес і у часі, і у просторі. Швидкість переміщення фази хвилі називають фазовою швидкістю, яку визначають із умови

постійності фази хвилі, тобто: При подальшому диференціюванні цього виразу по t: звідки V=dx/dt. Якщо продиференціювати двічі рівняння плоскої хвилі спочатку за часом, а потім за координатою, ми отримаємо: Підставивши перше із цих рівнянь у друге, одержимо диференціальне рівняння у частинних похідних, яке описує поширення хвиль у однорідному ізотропному середовищі: Це рівняння називають хвильовим рівнянням, рішен-

ням якого є плоска гармонічна хвиля. Фазові швидкості поширення поздовжніх і поперечних хвиль у твердих тілах можуть бути розраховані відповідно із наступ-

них співвідношень: де Е – модуль Юнга матеріалу, G – модуль його зсуву, а  - його густина.

Швидкість поширення поздовжніх хвиль у рідкому та газоподібному середовищах

визначається такими формулами: де k – об'ємний модуль пружності рідини, =Ср/Сv – показник адіабати для даного газу, R – молярна газова ста-

ла, М – молярна маса газу, Т – його термодинамічна температура.

Хвильовий рух здійснює перенесення енергії від джерела коливань в різні області середовища. Таким чином середовище, у якому поширюються хвилі, володіє додатковим запасом енергії. Такі хвилі називаються біжучими. Кількісно перенесення енергії хвилями характеризують вектором густини потоку енергії U_cеp, який для пружних хвиль називається вектором Умова. Напрямок вектора Умова співпадає із напрямком перенесення енергії U_cеp=_cеpV, де _cеp – середня об'ємна густина енергії коливального руху (енергія одиниці об'єму пружного середовища), V – швидкість хвилі. Модуль цього вектора дорівнює енергії, яку переносить хвиля за одиницю часу через одиничну площадку, розташовану перпен-

дикулярно напрямку її поширення: Тут  - середня густина середовища, 0 – циклічна частота коливань, А –

їхня амплітуда.

Пружні хвилі із частотами від 16 до 20000 Гц, сприймані органами слуху людини, називаються звуковими (акустичними) хвилями. Звукові хвилі із частотами нижчими за межі діапазону сприйняття вуха людини (16 Гц) називаються інфразвуковими, а із частотами вищими за діапазон слуху (20 кГц) називаються ультразвуковими. У рідких і газоподібних середовищах звукові хвилі можуть бути тільки поздовжніми, оскільки ці середовища володіють пружністю тільки відносно деформацій стиснення та розтягування. У твердих тілах вони можуть бути як поздовжніми, так і поперечними, оскільки тверді середовища володіють пружністю ще і відносно деформацій зсуву.

Звуки характеризуються гучністю, висотою і тембром. Гучність характеризує слухове відчуття і визначається амплітудою коливань джерела звукових хвиль. Висота звуку також визначається людиною на слух і залежить від частоти коливань джерела: при зростанні частоти висота звуку збільшується. Тембр звуку – це своєрідне його «забарвлення» - звукове відчуття, визначуване характером акустичного спектру і розподілом енергії між окремими частотами. Реальні звуки є накладенням гармонічних коливань із великим набором частот. Акустичний спектр називається суцільним, якщо в деякому інтервалі присутні коливання всіх частот. Звуки, які мають суцільний спектр, називаються шумами. Спектр називається лінійчатим, якщо в ньому присутні окремі одна від одної певні частоти. Звуки, які володіють лінійчатим спектром, називаються музичними (наприклад, звуки музичних інструментів).

Для звукових хвиль спостерігається ефект Доплера, який полягає у тому, що випромінювана ₀ і реєстрована  частоти хвилі відрізняються, якщо джерело і приймач звукових хвиль рухаються одне відносно одного у середовищі, де поширюється хвиля. Нехай V_дж і V_пр – відповідно швидкості руху джерела та приймача звуку уздовж прямої, яка їх зєднує. Швидкості вважаються позитивними, якщо джерело і приймач зближаються, і негативними, якщо вони віддаляються одне від одного. Якщо V – швидкість поширення звукової хвилі в даному середовищі, а ₀ – частота коливань джерела звуку, то частота коливань , реєстрована прийма-

чем звукових хвиль, визначається із співвідношення: Верхній знак у формулі береться, якщо при русі джерела і приймача відбувається їхнє наближення, а нижній знак – у ра-

зі їхнього взаємного віддалення. Якщо напрямки швидкостей V_дж та V_пр не співпадають із напрямком прямої, яка зєднує джерело і приймач, то замість значень швидкостей у формулі потрібно брати їхні проекції на напрям цієї прямої.

Особливим видом хвильового руху є електромагнітні хвилі, які являють собою змінне електромагнітне поле, що поширюється у просторі із кінцевою швидкістю. Вони виникають в результаті того, що змінне електричне поле породжує змінне магнітне поле, яке, у свою чергу, породжує змінне електричне поле. Цей періодичний процес і є електромагнітною хвилею. Їхнє існування випливає із рівнянь Максвелла: вектори напруженостей електричної Е і магнітної Н складових змінного електромагнітного поля задовольняють хвильовим рівнянням типу:

де  - оператор Лапласа (сума других похідних по координатах). Ці рівняння відповідають однорідному і ізотропному середовищу удалині від

зарядів і струмів, що створюють електромагнітне поле. Цим хвильовим рівнянням задовольняють плоскі монохроматичні хвилі, описувані рівняннями:

де Е0у і Н0z – амплітуди напруженостей електричної і магнітної складових хвилі,  - циклічна частота хвилі, k – хвильове число,  - початкові фази коливань (вони

однакові, оскільки коливання Е та Н у електромагнітній хвилі відбуваються в однакових фазах). Індекси у і z при Е та Н підкреслюють, що вектори Е та Н спрямовані уздовж взаємно перпендикулярних осей у та z. Таким чином, вектори напруженостей змінного електричного Е та магнітного Н полів взаємно перпендикулярні і лежать у площині, перпендикулярній вектору V швидкості поширення хвилі (говорять, що вектори Е, Н та V утворюють правогвинтову трійку і є поперечними). Згідно теорії Максвелла, фазова швидкість поширення електромагнітних хвиль є кінцевою величиною, яка визначається електричними і магнітними властивостями середовища, у якому поширюється електромагнітна хвиля:

де 0 і 0 – електрична і магнітна сталі,  і  - діелектрична та магнітна проникності середовища. Якщо електромагнітна хвиля поширюється у вакуумі, то =

=1 і =1. Тоді, швидкість поширення електромагнітної хвилі у вакуумі становить:

Збіг швидкості поширення електромагнітних хвиль у вакуумі зі швидкістю поши

рення світла у вакуумі указує на глибокий зв'язок між електромагнітними і оптичними явищами. Це дозволило Максвеллу створити єдину електромагнітну теорію світла, згідно якої світло є електромагнітними хвилями. Оскільки у середовищах  та 1, то швидкість поширення електромагнітних хвиль становить V= =c/ <c.

Електромагнітні хвилі переносять у просторі енергію, що складається із енергій електричного і магнітного полів. Об'ємна густина цієї енергії відповідно дорівнює сумі об'ємної густини енергій обох складових:

Об'ємна густина енергії електричного і ма-гнітного полів у кожний момент часу одна-кова: ел=м. Електрична і магнітна складо-

ві електромагнітної хвилі рівноправні, тому =2_ел=₀Е². Оскільки вектори Е і Н у електромагнітній хвилі завжди коливаються у однакових фазах, миттєві зна-

чення Е і Н у будь-якій точці зв'язані співвідношенням: Врахувавши це, виразу для об'ємної густини мо-жна надати вигляду: де V – швидкість поширення хвилі у середовищі.

По аналогії із пружними хвилями, добуток об'ємної густини енергії хвилі на швидкість її поширення, є модулем густини потоку енергії, яка в даному випадку дорівнює S=V=EH. Оскільки вектори Е та Н взаємно перпендикулярні, то вектор густини потоку електромагнітної енергії можна уявити як векторний добуток: S=[EH]. Вектор S називають вектором Умова-Пойтінга. Його напрям співпадає із напрямом перенесення енергії (спрямований у бік поширення електромагнітної хвилі), а його модуль дорівнює енергії, яку переносить хвиля за одиницю часу через одиничну площадку, перпендикулярну напряму поширення електромагнітної хвилі.