
- •Глава 8
- •8.1. Гармонические колебания
- •8.2. Маятники
- •1. Пружинный маятник
- •2. Математический маятник
- •3. Физический маятник
- •4. Крутильный маятник
- •8.3. Энергетические превращения при гармонических колебаниях
- •8.4. Сложение гармонических колебаний
- •8.4.1. Векторное и символическое представление
- •8.4.2. Сложение колебаний одного направления одинаковых частот.
- •8.4.3. Сложение колебаний одного направления разных частот.
- •8.4.4. Понятие о гармоническом анализе
- •8.5. Затухающие колебания
- •8.6. Вынужденные колебания. Резонанс
- •8.7. Колебания связанных систем
- •8.8. Автоколебания
- •8.9. Ангармонические колебания
8.4. Сложение гармонических колебаний
8.4.1. Векторное и символическое представление
гармонических колебаний
Гармонические колебания часто представляют в виде равномерно вращающегося вектора А, длина которого равна амплитуде колебаний А, а угловая скорость ω – круговой частоте коле-
Рис. 8.9 |
Широко используется
и так называемый символический способ
изображения гармонических колебаний.
Он основан на формуле Эйлера для
комплексных чисел
iAsinφ
= =
где А
– модуль комплексного числа z
т.е.
– его аргумент,
– реальная часть комплексного числа
z
(x =
),
– его мнимая часть (y
=
звездочка обозначает комплексное
сопряжение. Следовательно, функция
(5.3), описывающая гармонические колебания,
есть реальная часть комплексного числа
z,
модуль которого равен амплитуде колебаний
А, а его
аргумент
–фазе колебаний. При этом символ Re
опускают и пишут
(5.5)
или
где
–
комплексная амплитуда колебания.
Легко убедиться,
что функция (5.5) периодическая с периодом
и удовлетворяет
дифференциальному уравнению (5.1).
8.4.2. Сложение колебаний одного направления одинаковых частот.
Для гармонических колебаний, как и для любых механических движений справедлив принцип суперпозиции. Это означает, что если частица может совершать два каких-либо гармонических колебательных движения, то она может совершать и такое движение, которое является суммой этих двух движений – колебания можно складывать. Рассмотрим сначала сложение двух гармонических колебаний
одинакового
направления (вдоль оси X)
и одинаковой частоты ω.
В этом случае результирующее движение
частицы оказывается тоже гармоническим
колебанием того же направления и той
же частоты:
Это непосредственно вытекает из
свойства линейности дифференциального
уравнения гармонического осциллятора
(5.1). Действительно, если x1
и x2
являются решениями этого уравнения при
данном значении ω,
то и их сумма
также является решением этого уравнения.
А это и означает, что если x1
и x2
являются гармоническими колебаниями
частоты ω,
то и их сумма также будет гармоническим
колебанием той же частоты и того же
направления.
Для определения амплитуды А и фазы результирующего колебания воспользуемся методом векторных диаграмм. Этот ме-
Рис. 8.10 |
(5.6)
где
– разность фаз складываемых колебаний.
Из того же треугольника найдем формулу
и для фазы результирующего колебания:
Формула (5.6)
показывает, что амплитуда результирующего
колебания определяется не только
амплитудами складываемых колебаний,
но и разностью их фаз
Поскольку
может принимать как положительные, так
и отрицательные значения, то при одних
разностях фаз δ
складываемые колебания будут усиливать
друг друга, а при других ослаблять. Если
складываемые колебания находятся в
одинаковой фазе (синфазные), т.е. если
разность фаз δ = 0
или кратно 2π,
то амплитуда результирующего колебания
будет иметь максимальное значение,
равное
– колебания усиливают друг друга. Если
же складываемые колебания находятся в
противофазе, т.е. если δ = π
или любому нечетному числу π,
то результирующее колебание будет иметь
минимальное значение амплитуды, равное
–
колебания ослабляют друг друга, а при
А1
= А2
полностью гасят друг друга.
Метод векторных диаграмм удобно применять и при сложении трех и более колебаний.