14.Постановка т-задач. Знаходження її оптимального плану методом потенціалів

Нехай в пункт А1,…,Аm зосереджено однорід вантаж у кіл-тях а1,…,аm. Його потрібно перевести у пункти призначен В1,…,Вn, потреби яких відповід=b1,…,bn. Відома вартість перевезен од вантажу, що =Cij. Треба скласти такий план перевезен прод від постачал до спожив, при якому сумар витрати будуть мінімал.

	B1	B2	…	Bn	Запаси
A1	c11 x11	c12 x12	…	c1n x1n	a1
A2	c21 x21	c22 x22	…	c2n x2n	a2
…	…	…	…	…	…
Am	cm1 xm1	…	…	cmn xmn	am
Потреби	b1	b2	…	bn

Cij- вар-ть, Xij- кіл-ть. Тоді математ модель така:

f = c11x11 + c12x12 +…+ c1nx1n + c21x21 +…+ cm1xm1 +…+ cmnxmn = → min

Н ехай Т-зад має закрит вигляд і для неї добуд опор план, тоді використ метод потенціалів, який ґрунтуєт на такій теоремі: якщо для деякого опор плану Х* закритої Т-зад існують такі числа αі і βj, що число dij = βj – αі - cij, то Х* є оптимал планом Т-зад.

Числа αі і βj назив потенціалами, їх знаходять з с-ми рівнянь βj – αі = cij, де cij – вартості перевезень, які стоять у заповнен клітин табл умов зад. Таких рівнянь є m+n-1, а невідомих m+n, тобто число рівнянь на 1 менше, ніж число невідомих, а тому одне з невідомих (наприклад, α1) вважають 0, а усі інші знаходять з с-ми.

Після цього для вільних клітинок знаходять числа dij = βj – αі – cij. Якщо серед них немає додат, то маємо оптимал план. Якщо ж вони є – переходять до нового опор плану. Для цього серед dij вибирають найбільше і для клітинки,якій воно відповідає роблять перерахунок вантажу за циклом.

Циклом пере розрах назив замкнутий многокут, сторонами якого є горизонтал та вертикал відрізки і одна вершина якого співпадає з вільною клітинко, для якої будується цикл, а всі інші з зайнятими клітинками. Цикл завжди єдиний.

Переміщен прод по клітинках здійснюєт за правилами: 1)Вільній клітин припис знак +, а всім ін. по черзі - + - + і т.д. 2)У вільну клітин заносять найменше з чисел xij, які знаходят у «-»-клітин. Крім того це число додають до чисел в «+»-клітин і віднім від чисел в «-»-клітин, у результ чого знаходять новий опорний план.

Зауважимо, що якщо в останній таблиці серед dij є нульові, то оптимал план не єдиний.

15.16.Постановка і особливості задач нп. Графічний метод

Зад НП полягає у відшуканні екстремал значен деякої цільової ф-ї при певних обмеженнях. f = (x1,…,xn) → extr;

, де f, gi- відомі функції, bi – задані числа.

Також можуть задаватись додаткові обмеження на знак змінних (х1,…,xn), умова невід’ємності або цілочисловності всіх або деяких змінних.

Нелінійність функцій f, gi викликає відмінність зад НП від задач ЛП: 1)В зад ЛП область допустимих розв’язків завжди опуклий прямокутник, а в зад НП область допустимих розв’язків є довільною і може містити нескінченно багато вершин; 2)У зад ЛП extr цільової функції досягався у вершинах многогранника розв’язків, у зад НП extr може досягатися, як на межі ОДР, так і всередині цієї області. Загал метода розв’язання задач НП немає.

Якщо число змінних = 2, то зад НП можна розв’язати графічно. Алгоритм:

1 .Знаходять ОДР зад, яка визначаєт співвідношен . У випадку, коли вона є порожньою множиною, зад розв’яз немає.

2.Буд лінію рівнів f = f(x1,x2) = , h належить R.

3.Визначаємо лінію найвищого (найнижчого) рівня або переконуют в необмеженості функції на множині допустимих розв’язків.

4.Знаходять точку ОДР, через яку проходить лінія найвищого (найнижчого) рівня і визначають в цій точці значення цільової функції. Дане значення є оптимал розв’язком зад.