5.Постановка та приклади задач лп. Зад оптимал плануван виробн прод. Зад Про раціон харчуван (дієту).

Досліджен операцій - дисципліна, яка займаєт розробкою та застосуван методів знаходжен оптимал рішень на основі математ програмуван.

Виділ методи досліджен операцій:

-математ програмуван;

-теорія управлін запасами;

-теорія ігор;

-теорія масов обслуговуван;

-сітьове плануванмі управлін.

Математ програмуван - наука, яка задачі знаходжен екстремуму ф-ціі за певних заданих умов і розробляє методи іх розвязуван.

Розріз ліні, і неліній, динаміч, дробово-ліній, стохастич, параметрич програмуван.

Ліній програмуван - наука про методи досліджен і знаходжен найбіл і наймен значень деякоі ліній ф-ціі при деяких обмежен, які відображ с-мою ліні. Нерівностей або рівнянь.

П ід загал задачею ліній програмуван розуміють зад вигляду: f=c1x+c2x2+…+cnxn – max (min)

a11x1+…+a1nxn {≤,≥,=} b1,

.

.

am1x1+…+amnxn {≤,≥,=} bm.

xj≥0, j є {1,…,n1}

xj – довільні, j є {n1,…,n}

Отже, потрібно знайти значен змінних х1,...,хn, які задовіл обмежен і цільова ф-я набуває екстремал значен.

Вектор х=(х1,...,хn) координати якого задовіл с-му обмежень та умови невідєм, назив допустимим розвяз (планом) задачі ЛП.

Множина всіх допустим розвяз зад утвор обл допустим розвяз (ОДР).

Допустимий план Х=(х1,...,хn) назив опорним планом задачі ЛП, якщо він задовіл не менше, ніж m ліній незалежних обмежень с-ми а також обмежен щодо невідємності.

Опор план х назив невиродженим, якщо він містить точно m додат змін, інакше він вироджен.

Опор план Х*=(х1*, х2*,…,хn*), за якого цільова ф-я досягає макс чи мінім значен, назив оптимал розвяз (планом) задачі ЛП.

Для побуд задачі ЛП потрібно: 1)ввести позначен для невідом змін, 2)проаналіз і зафіксув обмежен на них, 3)скласти с-му обмежень задач, 4)побуд цільову ф-ю і встановити вид екстремуму.

Основ видами зад в ЛП є: -оптимал плануван виробн прод (про використан сировини); -про складан кормового раціону або зад про раціон харчуван (про дієту); -про використан потужностей; -про розкрій матеріалу; -транспорт зад.

З агал вигляд зад оптимал плануван виробн прод має вигляд: f=c1x+c2x2+…+cnxn – max (min)

a11x1+…+a1nxn {≤,≥,=} b1,

.

.

am1x1+…+amnxn {≤,≥,=} bm.

xj, j є {1,…,n} – к-ть од прод Pj, j є {1,…,n};

bi, і є {1,…,m} – запаси сиров Si;

aij –к-ть од і-тої сиров, що витрач на виготовлен j-тої прод;

сj, j є {1,…,n} – вел прибут від реаліз од прод Pj.

6.Форми запису задач ЛП. Еквівалент перетворен зад ЛП. Усі постановки зад ЛП запис у 3 основ форми: загал, стандарт, каноніч.

Загал зад ЛП назив зад, в якій є обмежен у вигляді як рівностей, так і нерівнос, крім того умова невідєм наклад не на всі невідомі змін.

Стандарт (симетрич) – зад з однотипними обмежен нерів та невідєм змін (зад про дієту, оптимал плануван виробн):f=c1x+c2x2+…+cnxn – max (min)

a11x1+…+a1nxn ≤(≥) b1,

.

.

am1x1+…+amnxn ≤(≥) bm.

xj≥0, j є {1,…,n1}

Каноніч – зад, де всі змін невідєм, а обмежен мають форму рівностей:

f=c1x+c2x2+…+cnxn – max (min)

a11x1+…+a1nxn = b1,

.

.

am1x1+…+amnxn = bm.

xj≥0, j є {1,…,n1}

Усі форми зад ЛП можна записати у векторно-матрич вигляді.

Оск, основ методи розвяз зад ЛП розроблен для канон зад, то виник необхід зведен однієї форми зад до ін.

Всі 3 форми зад ЛП еквівалент між собою: загал зад за допом простих перетвор зводиться до стандарт чи канон, а останні перетвор одна в одну.

Тому розвяз одну з них ми отримаємо розвяз другої.

Еквівалент перетворен:

1)перехід від максиміз ∑cjxj до мініміз ∑cjxj;

2)перех від нерівнос ai1x1+…+ainxn ≤ bi,

до нерів -ai1x1-…-ainxn ≥ -bi;

3)перех від стандарт форми до канон, замін нерів ai1x1+…+ainxn ≤ bi рівністю ai1x1+…+ainxn = bi, де х(n+1) – допоміж змін; від ai1x1+…+ainxn ≥ bi рівністю ai1x1+…+ainxn = bi, х(n+1);

4)перех від канон форми до стандарт, замін рівність с-ю нерів:

ai1x1+…+ainxn ≤ bi,

ai1x1+…+ainxn ≥ bi.

5)перех від довіл до додат, ввівши нові змін:

Xj=xj’-xj’’, де xj’≥0, xj’’≥0.

7.Граф метод розвязуван зад ЛП. Для розвязув двовимір зад ЛП, тобто зад з 2ма змін, а також деяких тривимірних зад, застосов граф метод.

Обмежене використан граф методу зумовлене побуд багато кут розвяз, а граф зображен з кіл-тю змін, більше 3х взагалі неможливе.

Розв’яз зада ЛП граф означ знайти таку вершину многокут розв’язків, у результ підставлен координат якої ліній цільова ф-я набуває найбіл (наймен) значен.

Якщо с-ма обмежень за всіх можливих умов задачі має розвяз, то побудов багатогранник її розвяз обмежений (можна зєднати в межах багато кут 2 точки).

Згідно з геометрич інтерпретац зад ЛП, кожне і-те обмежен-нерівність у с-мі визначає півплощину з гранич прямою аі1х1+аі2х2=ві і змінюєт від і=1,m.

С-мою обмежен граф можна зобразити спільну частину, тобто множ точок, координ яких задові всі обмежен зад – багато гран розвяз.

Алгоритм граф методу:

1.Буд прямі лінії, рівнян яких дістаємо заміною в обмежен зад знаків нерівностей на знаки рівност.

2.Визнач півплощини, що відповід кожному обмежен задачі.

3.Буд багатокутник розв'язків задачі ЛП.

4.Буд напрям вектор (с1; с2), що задає напрям зростан і спадан значень цільової функції задачі.

5.Буд пряму с1х1+с2х2=const, перпендикуляр до векnора .

6.Переміщуючи пряму с1х1+с2х2=const в напрямі вектора (для зад максиміз) або в протилеж напрямі (для зад максиміз), знаходимо вершину многокут розв'яз, де ці­нова ф-я досягає екстремал значен.

7.Визнач координати точки, в якій цільова ф-я набувє максимал (мінімал) значен, і обч екстремал значен цільової ф-ї в цій точці.