Принятие решений в условиях риска в рамках теории игр

В случае, когда каким-то образом можно оценить вероятность проявления состояний К₁, К₂, К₃ говорят не о состоянии неопределенности, а о состоянии риска. При этом методы принятия решений в условиях риска разрабатываются и основываются в рамках так называемой теории статистических решений.

Критерием решения является максимум ожидаемого среднего выигрыша (для матрицы типа А) или минимум среднего ожидаемого риска (для матрицы типа R).

Если для некоторой игры с природой, задаваемой матрицей выигрыша А, стратегии природы К_j соответствует вероятность р_j то лучшей стратегией будет та, которая обеспечит максимальный средний выигрыш:

Применительно к матрице убытков лучшей стратегий будет та, которая, минимизирует средний риск:

Независимо оттого, минимизируются убытки или максимизируется выигрыш, оптимальное решение обеспечивается при одной и той же стратегии.

Рассмотрим пример, знакомый по предыдущему параграфу. Возьмем следующую матрицу А и матрицу R при условии, что р₁ = 0,2, р₂ = 0,5, р₃ = 0,3:

А =		П1	П2	П3	,R=		П1	П2	П3
	Р1	75	105	120		Р1	165	141	0
	Р2	225	60	90		Р2	15	186	30
	Р3	105	246	30		Р3	135	0	90
	Р4	240	60	105		Р4	0	186	15

Найдем лучшие стратегии на обеих матрицах.

Для игры, задаваемой матрицей А, при критерии:

максимум достигнут на ___ стратегии. Поскольку стратегия ___ при заданных вероятностях позволяет ожидать большей прибыли, чем другие стратегии, она признается самой эффективной.

Для игры, задаваемой матрицей R при критерии:

Минимум достигнут на ___ стратегии.

Поскольку стратегия ___ при заданных вероятностях приводит к меньшим убыткам, чем другие стратегии, она признается самой эффективной. На практике целесообразно отдавать предпочтение матрице выигрышей или матрице убытков в зависимости оттого, какая из них определяется с большей достоверностью.

Управление процентным риском с помощью дюрации

Дюрация используется для оценки процентного риска. Понятие «дюрация» введено Фредериком Р. Маколеем в 1930-е годы для решения вопроса, какую из двух облигаций с одинаковой доходностью стоит купить. Маколей предложил рассчитать средневзвешенную продолжительность существования облигации:

где dur -дюрация;

CF_t - текущие денежные потоки по данному обязательству;

Т- срок до погашения;

m - количество выплат в году;

N – номинал;

t – время погашения.

Величина дюрации часто модифицируется корректировкой на ставку процента. Полученная величина носит название модифицированной дюрации:

,

где r - доходность обязательства; m – количество выплат в году.

Модифицированная дюрация показывает долю, на которую изменится цена облигации при изменении доходности на 1%.

Дюрация позволяет сравнивать два обязательства по отношению к процентному риску, которому они подвержены. Дюрацию также можно использовать для оценки процентного риска портфелей обязательств.

Рассмотрим сказанное на примере. Имеем две облигации со сроком погашения четыре года, номинал первой облигации, облигации А - 1000 руб. с 10-процентным купоном, номинал облигации Б -1464 руб. с нулевым купоном. Обе облигации принадлежат к одному классу надежности, и инвесторы ожидают доходности от облигаций такого класса на уровне 10%.

Рассчитаем текущую цену облигаций, используя известную формулу:

Результаты расчетов показывают, что обе ценные бумаги имеют ___________ цену. Посмотрим теперь на дюрацию.

Получаем, что облигация ____ более подвержена процентному риску и инвестору следует остановиться на облигации ____.

Пример. Использование дюрации для снижения процентного риска.

Инвестиционная компания разместила на рынке 5-летнюю облигацию с 10% купоном и номиналом 1000 руб. по цене номинала. Вырученные от продажи денежные средства планируется разместить в следующие виды активов:

• облигация А, с купоном в 12%, срок погашения 10 лет, цена на рынке совпадает с номиналом;

• вексель Б, 2-годичный, номиналом 1000 руб., продается на рынке с доходностью 14%. Требуется сформировать портфель активов, иммунизированный по отношению к процентной ставке, используя дюрацию.

1. Рассчитаем дюрацию обязательства.

Период, год		Поток наличности CFi		Текущая стоимость		Дюрация
1
2
3
4
5
∑
Модифицированная дюрация dur*=
2. Рассчитаем дюрацию облигации
Период, год	Поток наличности CFi		Текущая стоимость		Дюрация
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∑
Модифицированная дюрация dur*=

3. Рассчитаем дюрацию векселя Б

Период, год	Поток наличности CFi	Текущая стоимость	Дюрация
1
2
∑
Модифицированная дюрация dur*=

4. Запишем условие иммунизации портфеля:

где v_А, v_Б - доля облигации А, доля векселя Б в портфеле активов;

- дюрации облигации А, векселя Б и дюрация обязательства компании.

Выразим и, подставив известные величины, получим уравнение:

_________________________________

откуда рассчитаем v_А = ______, v_Б = ______.

5. Полученные результаты имеют следующий смысл: для иммунизации данного портфеля против процентного риска необходимо, чтобы доля облигаций А составляла ____%, доля векселей Б - ____%. Добавим, что данный метод можно применять, учитывая собственные средства компании с дюрацией равной 0.