Математическое ожидание случайной величины

Однако для решения многих практически важных задач часто бывает достаточно знать значения лишь нескольких характеристик (параметров) случайной величины, которые дают менее полное, но более наглядное представление о ее распределении. Важнейшие из них: среднее (ожидаемое) значение, дисперсия и стандартное (среднеквадратическое) отклонение.

Средним или ожидаемым значением (математичес­ким ожиданием) дискретной случайной величины Е называется сумма произведений ее значений на их вероят­ности:

Математическое ожидание для рассмотренного выше приме­ра равно:

М= ______________________________________

В случае равной вероятности наступления каждого из со­бытий (т.е. р_к = 1/n) математическое ожидание случайной ве­личины определяется как арифметическое среднее:

Математическое ожидание случайной величины служит центром распределения ее вероятностей. Смысл этой характеристики для рассматриваемого примера в том, что она представляет собой наиболее правдоподобную меру годо­вой доходности по акциям фирмы.

Однако данная характеристика, взятая сама по себе, не позволяет измерить степень риска проводимой операции.

Рассмотрим возможность приобрете­ния акций двух фирм: А и В. Полученные экспертные оцен­ки предполагаемых значений доходности по акциям и их ве­роятности представлены в таблице.

Вероятные значения доходности акций фирм А и В

Прогноз	Вероятность	Доходность, %
		А	В
Пессимистический	0,3	-70	10
Средний	0,4	15	15
Оптимистический	0,3	100	20

Средняя доходность по акциям обеих фирм:

_МА= ______________________________.

М_В= ______________________________.

Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины

Для принятия окончательного решения необходимо измерить колеблемость показателей, т.е. определить меру колеблемости возможного результата.

Колеблемость представляет собой степень отклонения ожидаемого значения от среднего. Для ее оценки на практике обычно применяют два близко связанных критерия – дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Дисперсия характеризует степень колеблемости изучаемого показателя (ожидаемый доход от осуществления финансовой операции) по отношению к его средней величине

Дисперсией называется сумма квадратов отклонений случайной величины от ее среднего значения, взвешенных на соответствующие вероятности:

Для нашего примера дисперсии доходности по акциям А и В составляют:

D_A = ___________________________________________________,

D_B = ___________________________________________________.

Из выражения выше следует, что размерность дисперсии равна квадрату единицы измерения случайной величины (%²). Для удобства анализа дисперсию приводят к тем же единицам, что и случайная величина, Этот показатель на­зывается стандартным (среднеквадратическим) отклонением (СКО).

Величина σ представляет собой средневзвешенное откло­нение случайной величины от ее математического ожидания. Стандартное отклонение показывает, насколько значения случайной величины могут отличаться от ее среднего.

Для рассмотренного нами примера:

Отсюда следует, что реальная доходность по акциям фирмы А может колебаться от _____% до +______% (____ + - _____). Для фирмы В этот диапазон значительно уже: от _____ до _____ (____+ - _____).

Для оценки риска, приходящегося на единицу доходнос­ти, часто используют коэффициент вариации:

.

Коэффициент вариации может изменяться от 0 до 100%. Чем больше коэффициент, тем сильнее колеблемость. Принята следующая качественная оценка различных значений коэффициента вариации:

до 10 % – слабая колеблемость;

10-25 % – умеренная;

свыше 25 % – высокая.

Коэффициент вариации – относительная величина, по­этому на его значение не влияют абсолютные значения изучаемого показателя.

Коэффициент вариации позволяет распределить уровень риска, если показатели среднего ожидаемого дохода от осуществления финансовых операций различаются между собой.

Для нашего примера:

СV_A = ______________________________; CV_B = _________________________________.

Следовательно, риск на среднюю единицу дохода по ак­циям фирмы А почти в ______ раз выше, чем у фирмы В.

Задача. Предприятие имеет два варианта производства новых товаров, технология производства и себестоимость которых одинаковы. В среднем цены на рынке тоже одинаковы, однако характер изменений несколько отличается. Менеджмент предприятия располагает динамикой рыночных цен за 8 периодов и уверен, что выборка отражает реальное движение цен по обоим товарам. Определите ценовой риск товаров.

Динамика цен на продукты А и Б

Период	Цена на продукты		Период	Цена на продукты
	А	Б		А	Б
1	8	6	5	8	6
2	12	14	6	12	14
3	8	6	7	8	6
4	12	14	8	12	14

Отобразите динамику цен графически.

цены, руб.	16
	14
	12
	10
	8
	6
	4
	2
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
		периоды

Рассчитаем среднюю цену:

___________________________________

__________________________________

Рассчитаем дисперсию:

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Рассчитаем коэффициент вариации:

V_А= ___________

V_Б= ___________

Как видно из значений σ_А, σ_Б ценовой риск товара ____ существенно выше, чем аналогичный риск товара ____. Коэффициенты V_А,V_Б дают нормированное представление о риске. Оба товара подвержены ____________ колебанию цены, ___ и __ % - это ________ колебания цен на товары А и Б соответственно. Возможно, предприятию стоит искать какой-то третий продукт.