7.3. Евольвента, рівняння евольвенти в параметричній, векторній і координатній формах

Рисунок 7.1

Евольвента утворюється при перекоченні прямої по колу без ковзання точками прямої. В зубчатих передачах як коло використовують основне коло радіуса Кут профілю зуба утворюється між радіус-вектором т.К і дотичною до профілю в точці К. Кут - це також кут між біжучим радіусом і радіус-вектором точки К евольвенти. Кут між початковим радіусом і радіус-вектором називається евольвентним кутом . Кут між початковим радіусом і біжучим радіусом позначимо радіальний кут (кут розгортки евольвенти)

(7.2)

Коло є інволютою – траєкторією миттєвих центрів обертання прямої. Тому є радіусом кривини евольвенти, він дотичний до кола і перпендикулярний до біжучого радіуса:

(7.3)

де в радіанах.

Рівняння евольвенти в векторній формі:

. (7.4)

В матричній формі запису:

(7.5)

де матриця переходу від координатної системи до системи (рисунок 7.1).

Вводимо допоміжний кут :

(7.6)

(7.7)

Перейдемо до координатної форми запису рівняння евольвенти:

(7.8)

(7.9)

(7.10)

(7.11)

При обертанні прямої проти годинникової стрілки (+) утворюється ліва гілка евольвенти. При (-) – права.

За рисунком 7.1 і за (9.3) з урахуванням (7.2):

(7.12)

. (7.13)

(7.12), (7.13) – рівняння евольвенти в параметричній формі. Для евольвентної функції inv складена таблиця для визначення  через .

7.4 Елементи та властивості евольвентного зачеплення

При зачепленні двох зубчатих коліс встановлюються певні співвідношення між елементами кожного зубчатого колеса.

7.4.1 Радіуси ділильних кіл:

7.4.2 Радіуси основних кіл:

де кут головного профілю стандартної рейки.

7.4.3 Радіуси початкових кіл:

де кут зачеплення. Кут зачеплення утворюється між спільною дотичною до

основних кіл коліс і перпендикуляром до прямої, що з’єднує центри коліс.

7.4.4 Міжосьова відстань а_W:

Кути  і _W однакові при нульовому і рівнозміщеному зачепленні. При визначенні Z₁ округлення до цілого проводити в сторону збільшення. При заданих Z₁, Z₂, т за рахунок зміни кута зачеплення одержують точну міжосьову відстань в допустимих межах зміни кута.

7.4.5 Радіуси кола головок:

Необхідна перевірка на загострення зубців.

7.4.6 Радіуси кола западин:

.

Необхідно проводити перевірку наявності достатнього зазору між колом головок одного колеса і колом западин другого. Рекомендується радіуси кола головок визначити:

7.4.7 Товщина зубців шестерні і колеса по ділильних колах:

де відповідні коефіцієнти зміщення.

7.4.8 Кроки на ділильному, основному, початковому колах:

де S_1,2 , S_b1,2 , S_W1,2 - товщини зубців передачі на ділильному, основному, початковому колах коліс відповідно;

S_31,2 , S_3b1,2 , S_3W1,2 – ширина западин на ділильному, основному і початковому колах коліс відповідно.

7.4.9 Евольвентні кути:

 - кут між осями 0₁У₀₁, 0₂У₀₂ і радіус-векторами точок евольвент, що лежить на ділильних колах коліс (рисунок 7.2).

відповідає

кут загострення головок зубчатих коліс в координатах відповідно.

_W – кут між осями 0₁У₀₁, 0₂У₀₂ і радіус-векторами полюса зачеплення P;

кут між осями 0₁У₀₁, 0₂У₀₂ і радіус-векторами точок евольвент, що знаходяться на колі головок зубчатих коліс;

кути _W , визначаються через відповідні кути _W , _a1,2.

Рисунок 7.2

7.4.10 Радіальні кути:

- радіальний кут між осями 0₁У₀₁, 0₂У₀₂ і радіусами r_b1,2, які перпендикулярні спільній дотичній до основних кіл зубчатих коліс (радіуси 0₁N₁, 0₂N₂ на рисунку 7.2).

- радіальні кути головок, що відповідають положенню точок евольвент на колах головок коліс. Інакше, кути між осями 0₁У₀₁, 0₂У₀₂ і радіусами, які перпендикулярні дотичним до основних кіл коліс, проведених з точок а₁, а₂ на рисунку 7.2.

7.4.11 Лінія зачеплення:

g- теоретична довжина лінії зачеплення - відстань на спільній дотичній до основних кіл між точками N₁ ,N₂ , точками дотику. Цим точкам відповідає радіальний кут

довжина активної лінії зачеплення – відстань на теоретичній лінії зачеплення між точками перетину цієї лінії з колами головок (точки К₁,К₂) зубчатих коліс. Зачеплення зубців здійснюється в межах g_ для зубчатих передач зовнішнього зачеплення.

. (7.14)

7.4.12 Радіуси кривини евольвенти

Радіуси кривини евольвенти визначаються за формулою (7.3). Довжина радіусів кривини евольвент в точках контакту змінюється з поворотом зубчатих коліс, але їх сума залишається сталою і дорівнює g – довжині теоретичної лінії зачеплення:

. (7.15)

Радіуси кривини евольвенти в полюсі зачеплення:

Радіус кривини евольвенти шестерні (першого колеса) від полюса до кола головок збільшується, а радіус кривини евольвенти колеса (другого колеса) від полюса до основного кола зменшується:

, (7.16)

де – радіус кривини евольвенти шестерні в межах від _W1 до _а1;

– радіус кривини евольвенти колеса в межах від _W2 до _a2.

При зміні радіального кута шестерні в межах :

,

(7.17)

При зміні радіального кута колеса в межах:

,

. (7.18)

7.4.13 Коефіцієнт перекриття:

(7.19)

де довжина дуги початкового кола, по якій перемістилась точка профілю зубця за час зачеплення однієї пари зубців;

крок початкового кола.

Крок і довжина дуги основного кола пропорційні, відповідно, кроку і довжині дуги початкового кола. Довжина (відрізок К₁ – К₂ на лінії зачеплення) дорівнює довжині дуги основного кола за час зачеплення, оскільки перекочування відбувається без ковзання. Коефіцієнт перекриття враховує плавність і безперервність зачеплення передачі. Для евольвентної прямозубої передачі: