- •Системи лінійних рівнянь
- •§1. Загальні поняття
- •§2. Способи розв’язування систем лінійних рівнянь а) Метод Гаусса розв’язування систем лінійних рівнянь
- •Випадок однорідної системи
- •Б) Метод Крамера розв’язування систем лінійних рівнянь
- •В) Матричний метод розв’язування систем лінійних рівнянь Поняття оберненої матриці
- •Матрична форма запису системи лінійних рівнянь
Випадок однорідної системи
Лінійне рівняння а1х1+а2х2+…+апхп=b називається однорідним, якщо його вільний член b дорівнює нулю. Система лінійних рівнянь називається однорідною, або системою лінійних однорідних рівнянь, якщо всі її вільні члени рівні нулю:
Однорідна система завжди сумісна, бо вона має нульовий розв’язок (0,0,0,…,0). Це видно із теореми 1, оскільки із того, що всі вільні члени рівні нулю, випливає відсутність у відповідній ступінчастій системі рівнянь вигляду 0= b, де b≠0.
Якщо однорідна система зводиться до ступінчастої, в якій кількість рівнянь r дорівнює кількості невідомих п, то, згідно теореми 2, вона має єдиний розв’язок – нульовий. Якщо ж однорідна система зводиться до ступінчастої, в якій кількість рівнянь r менша, ніж кількість невідомих п, то множина розв’язків такої системи нескінченна, а, значить, вона має і ненульові розв’язки. Згідно наслідку 2 така система невизначена.
Нехай =f1 – деякий ненульовий розв’язок однорідної системи. Тоді cf1= – теж розв’язок цієї системи.
Якщо ж f2= – якийсь інший ненульовий розв’язок даної системи, то при довільних c1 і c2 лінійна комбінація цих розв’язків теж буде розв’язком системи, оскільки якщо
і (і=1,2,…,п),
то і
Таким чином, довільна лінійна комбінація розв’язків однорідної системи теж буде її розв’язком. Важливими є такі лінійно незалежні розв’язки однорідної системи, через які лінійно виражаються всі решта її розв’язки.
Лінійно незалежна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь називається фундаментальною, якщо кожний розв’язок однорідної системи є лінійною комбінацією цієї лінійно незалежної системи.
Ясно, що якщо кількість рівнянь r в ступінчастому вигляді однорідної системи є меншою кількості невідомих п, то така система рівнянь володіє фундаментальною системою розв’язків. Очевидно також і те, що для отримання фундаментальної системи розв’язків (ФСР) можна надавати n-r вільним невідомим довільних значень і так відшукати скільки завгодно різних фундаментальних систем розв’язків, кожна з яких складалася б із n-r лінійно незалежних розв’язків.
Приклади.
1. Розв’язати систему
Розв’язання:
Зведемо розширену матрицю цієї системи до ступінчастого вигляду.
Тут перетворення (1) включає: а) до 2-го рядка додано 1-й, помножений на (-2);
б) до 3-го і 4-го рядків додано 1-й, помножений на (-3);
(2) включає: а) до помноженого на 5 3-го рядка додано помножений на (-8) 2-й рядок;
б) від 4-го рядка віднято 2-й рядок.
Після вилучення рівняння вигляду 0=0 задана система лінійних рівнянь звелася до наступної ступінчастої системи:
Ця система, а, значить, і задана система мають єдиний розв’язок.
2. Розв’язати систему.
Зведемо розширену матрицю цієї системи до ступінчастого вигляду:
.
Ця система несумісна, оскільки містить рівняння 0=14.
3. Розв’язати систему.
Зведемо розширену матрицю цієї системи до ступінчастого вигляду:
Отримано ступінчасту систему:
звідки, позначивши х3 та х4 вільними змінними, матимемо:
Це і є загальний розв’язок даної системи.
Частинні розв’язки: (1,-2,1,0), ( та інші.
Викладений метод розв’язування систем лінійних рівнянь називається методом Гаусса, або методом послідовного виключення невідомих.
Розв’язати однорідну систему і знайти її фундаментальну систему розв’язків.
Отримаємо систему:
Загальний розв’язок:
– вільні невідомі.
Фундаментальну систему отримаємо, якщо вільним невідомим х3, х5 надамо значень 1,0 і 0,1 відповідно (визначник матриці відмінний від нуля). Отримаємо:
|
x1 x2 x3 x4 x5 |
f1 |
1 –2 1 0 0 |
f2 |
15 –12 0 1 1 |
Розв’язки f1 та f2 і утворюють ФСР. Тоді ще один вигляд загального розв’язку системи: f=c1f1+c2f2, де c1,c2 – довільні числа.