§6. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі

Теорема. Матриця переходу від одного ортонормованого базису до іншого ортонормованого базису є ортогональною.

Доведення. Нехай e₁, e₂,…, e_n та e₁’, e₂’,…, e_n’ - два ортонормовані базиси в евклідовому просторі V і С – матриця переходу. Тоді

Розглянемо лінійне перетворення С з матрицею С в базисі e₁, e₂,…, e_n. Отримаємо

Але лінійне перетворення С , яке переводить ортонормований базис в ортонормований, є ортогональним (див. розділ 9, §2,в). Отже, С – ортогональна матриця.▲

Нехай тепер в евклідовому просторі V вибраний ортонормований базис e₁, e₂,…, e_n і нехай дана білінійна функція А(х, у), яка в цьому базисі подається білінійною формою

А(х, у)

де . Розглянемо лінійне перетворення А з тією ж матрицею А в тому ж базисі e₁, e₂,…, e_n. При переході до нового базису e₁’,e₂’,…,e_n’ з матрицею переходу С матриця А білінійної форми перейде в

В= ,

a матриця лінійного перетворення А перейде в , тобто взагалі ці матриці перетворюються неоднаково. Однак, якщо новий базис e₁’, e₂’,…, e_n’ - теж ортонормований, то матриця переходу С ортогональна, і . В цьому випадку матриця білінійної форми А(х, у) і матриця лінійного перетворення А змінюється однаково. Таким чином, в евклідовому просторі кожній білінійній функції відповідає цілком визначене лінійне перетворення (яке має ту саму матрицю в довільному ортонормованому базисі).

Якщо А(х, у) – симетрична білінійна функція, то відповідне лінійне перетворення А буде самоспряженим. Але матриця самоспряженого перетворення в деякому ортонормованому базисі має діагональний вигляд:

.

В цьому ж базисі білінійна форма А(х, у) зведеться до вигляду

,

а відповідна квадратична форма А(х, х) зведеться до суми квадратів:

,

тут – власні значення лінійного перетворення А.

Приклад. З допомогою ортогонального перетворення звести квадратичну форму в евклідовому просторі до суми квадратів.

Розв’язання.Запишемо характеристичний многочлен матриці цієї форми .

Його корені: .

В новому базисі (який складається із власних векторів, що відповідають власним значення і )

А(х, х) = .

Спосіб відшукання власного базису вже розглядався.

§7. Зведення рівняння другого порядку до канонічного вигляду

Одним із важливих і цікавих застосувань теорії квадратичних форм є задача спрощення рівняння кривих і поверхонь другого порядку. По суті, ця задача належить до числа тих, які і визначили постановку основних питань теорії квадратичних форм.

Для прикладу коротко розглянемо зведення до канонічного вигляду загального рівняння поверхні другого порядку у тривимірному просторі:

. (1)

Розглянемо спочатку суму членів другого степеня в лівій частині рівняння. Легко помітити, що це є квадратична форма з симетричною матрицею

A = .

Відомо, що існує ортогональне перетворення простору з матрицею С, яке переводить дану квадратичну форму до суми квадратів

,

де – характеристичні корені матриці А, - прообрази вектора при цьому перетворенні.

Після цього ортогонального перетворення рівняння (1) матиме вигляд

. (2)

Принаймні одне із чисел відмінне від нуля, бо інакше матриця

була б нульовою, і задане рівняння (1) було б лінійним. Припустимо, що . Тоді можна позбутися члена з у рівнянні (2) за допомогою наступного перетворення координат:

(*)

Дійсно, підставивши ці вирази до (2), отримаємо рівняння

. (3)

Якщо також і , то, двічі виконуючи перетворення, аналогічні останньому, отримаємо рівняння вигляду

. (4)

Рівняння (4) називається канонічним рівнянням центральної поверхні другого порядку. Тип поверхні та її властивості залежать від значення коефіцієнтів.

Якщо =0, то маємо рівняння конуса

,

який у випадку вироджується в точку .

При рівнянню (4) можна надати форму

,

де . Ясно, що .

Якщо всі коефіцієнти – додатні, то поверхню називають еліпсоїдом, якщо два додатні –однопорожнинним гіперболоїдом, якщо один додатний - двопорожнинним гіперболоїдом.

Отже, у випадку, коли всі характеристичні корені матриці відмінні від нуля (або ранг квадратичної форми рівний 3), завжди можна звести загальне рівняння (1) до канонічного рівняння (4) центральної поверхні другого порядку.

До такої ж форми можна звести рівняння (1) в окремих випадках і тоді, коли один чи два характеристичні корені матриці дорівнюють нулю. Так, рівняння (3) прийме форму (4), якщо одночасно з виявиться , а одночасно з буде . В цих “вироджених” випадках дістаємо рівняння циліндричних поверхонь.

Отже, в зазначених випадках отримуються рівняння вигляду (3), в якому число квадратів рівне рангу матриці . Відповідні поверхні називають центральними в зв’язку з тим, що для них існує центр симетрії. Справді, рівняння (3) не змінюється при перетворенні симетрії відносно точки .

Залишається розглянути випадки, коли одне з чисел або обидва дорівнюють нулю, а відповідні коефіцієнти відмінні від нуля.

Нехай спочатку . Тоді рівняння (3) можна звести перетворенням типу (*) до вигляду:

.

Далі, виконаємо перетворення

і отримаємо рівняння

, (5)

або , .

Це рівняння еліптичного (при чи гіперболічного (при ) параболоїда. Подібний результат дістаємо при .

Нехай, нарешті, , але хоч одне з чисел відмінне від нуля. Рівняння (3) набуде вигляду:

.