§ 20. Перетворення прямокутних координат

Виводячи рівняння еліпса, гіперболи та параболи, ми певним чином вибирали систему координат для кожної із цих ліній. Виникає питання, як впливає на форму рівняння інше розміщення координатних осей? При переході від однієї системи координат до другої системи координат змінюються як координати точок так і рівняння кривих .

Тепер розглянемо перехід від однієї прямокутної системи координат до такої ж шляхом паралельного зсуву осей, коли змінюється початок координат, а напрям осей залишається той же.

20.1. Перенесення початку координат

Нехай точка M площини має координати (x,y) в прямокутній системі координат Oxy. Перенесемо початок координат в точку де і є координатами точки в старій системі координат Осі та нової системи координат залишаються паралельними осям і старої системи координат ( не змінюється напрям осей( мал.64).

Позначимо координати точки в новій системі координат через Виведемо формули, які показують зв’язок між старими і новими координатами точки Для цього опустимо перпендикуляри на вісь , на вісь , а також перпендикуляри на , на вісь . Для відрізків справедлива рівність . Оскільки OA=a, OM₁=x,

AM₁=O₁N₁=x_1., то x=a+x₁. Аналогічно, знайдемо рівність

Формули

(2.145)

і вказують на зв’язок між старими і новими координатами точки при паралельному перенесенні початку координат.

20.2. Поворот осей координат

Р озглянемо тепер випадок, коли нова система координат одержується із старої системи координат шляхом повороту її навколо початку координат на кут (мал.65).

Нехай координати довільної точки в старій системі координат є , а в новій системі координат є Відлік кута повороту проводиться в напрямі, протилежному рухові годинникової стрілки.

Із малюнка 65 видно, що OM₁=x, MM₁=y, OM₂=x₁, MM₂=y₁, Для відрізків а також для відрізків справедливі рівності

(2.146)

Із прямокутних трикутників і одержуємо

Підставимо знайдені значення в рівності (2.146), і одержимо формули переходу від старих координат до нових при повороті осей на кут :

(2.147)

Тепер, щоб виразити нові координати і точки М через старі координати можна із системи (2.147) двох рівнянь з двома невідомими знайти та

Оскільки, формули для нових координат можна одержати по другому: так як нова система координат одержалася із старої системи поворотом на кут , то стара система одержиться поворотом осей на кут (- ). Значить в рівняннях (2.147) можна поміняти місцями старі і нові координати, замінивши однозначно на (- ), то одержимо

(2.148)

Приклад 1. Який вигляд буде мати крива якщо за нові осі координат взяти прямі, які проходять через точку і паралельні старим осям координат.

Розв’язування. За формулами (2.145) маємо , що . Підставивши та в рівняння кривої, одержимо Після спрощення одержимо або

Нове рівняння лінії є рівностороння гіпербола.

Приклад 2. Який вигляд прийме рівняння гіперболи , якщо осі координат повернути на кут ( ?

Розв’язування. Оскільки гіпербола є рівносторонньою, то і є асимптотами цієї гіперболи. Приймемо асимптоти гіперболи за нові осі координат, оскільки вони взаємоперпендикулярні, бо добуток їх кутових коефіцієнтів дорівнює (-1).

Замінимо та за формулами (2.147) , де , маємо

Заміняючи та в рівнянні гіперболи, одержимо

, або після спрощень маємо тобто

Це є гіпербола, яку вивчають у шкільному курсі математики, і яка задає обернено пропорційну залежність.