18.3. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

Нехай пряма проходить через дві задані точки і В цьому випадку за направляючий вектор прямої можна взяти вектор . Тоді і взявши за одержимо

. (2.98)

Рівняння (2.98) є рівнянням прямої в просторі , що проходить через дві задані точки.

Загальне рівняння прямої можна привести до канонічних рівнянь (2.92). Для цього в системі (2.87), наприклад, надаємо значення і система (2.87) буде системою двох рівнянь з двома невідомими x і y, які із неї знаходимо, тобто x=x₀ і x=x₀. Таким чином, одержали координати однієї точки в просторі. Аналогічно, із системи (2.87) надаючи , знаходимо

тобто координати другої точки .

Тепер можна записати рівняння прямої, що проходить через дві точки в просторі на основі (2.98) і одержимо рівняння (2.92).

18.4. Кут між двома прямими

Нехай задано дві прямі і :

 , (2.99)

 . (2.100)

Означення. Кутом між двома прямими і називається кут між їх направляючими векторами і .

Кут між двома прямими і буде визначатися за формулою (2.21) , тобто

. (2.101)

Очевидно, що .

Якщо прямі (2.99) і (2.100) паралельні, то їх направляючі вектори і колінеарні, то ми одержуємо умову паралельності прямих і у вигляді

. (2.102)

Умова (2.102) є умовою паралельності прямих і . Якщо прямі і взаємно-перпендикулярні , то направляючі вектори і також перпендикулярні , тобто їх скалярний добуток . Звідси

. (2.103)

Умова (2.103) є умовою перпендикулярності двох прямих і у просторі.

18.5. Взаємне розміщення прямої і площини

Нехай задана пряма

(2.104)

і площина

. (2.105)

Пряма паралельна до площини тоді і тільки тоді, коли її направляючий вектор перпендикулярний до нормального вектора площини. Тоді їх скалярний добуток дорівнює нулю

. (2.106)

Умова (2.106) є умовою паралельності прямої і площини.

Якщо пряма перпендикулярна до площини , то направляючий вектор прямої і нормальний вектор площини паралельні, тобто

. (2.107)

У мова (2.107) є умовою перпендикулярності прямої і площини.

Кутом між прямою і площиною називається кут ),

який утворений прямою з її проекцією на площину (мал.49). З малюнка 49 видно, що кут між нормальним вектором площини і направляючим вектором прямої дорівнює , а якщо вектор має напрям протилежний як показано на малюнку , то кут між векторами і буде дорівнювати . В обох цих випадках , тому

. Значить

. (2.108)

Формула (2.108) є формулою для знаходження кута між прямою (2.104) і площиною (2.105).

Приклад 1. Знайти кут між площиною і прямою

Розв’язування. Рівняння прямої приведено до канонічного вигляду. Із першого рівняння знаходимо , а з другого рівняння , значить канонічний вид рівняння прямої буде . Таким чином, направляючий вектор прямої , а нормальний вектор площини . Тепер за формулою (2.108) знаходимо

, .