9.2. Сходимость, аппроксимация, устойчивость разностных схем

Рассмотрим дифференциальное уравнение, заданное в некоторой области D, ограниченной контуром Г:

LU = f , (9.2)

где U - решение (9.2). Множество D_h ={M_h} состоящее из изолированных точек M_h , принадлежащих замкнутой области D, называется сеткой, а точки M_h - узлами сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией U_h. На практике, как правило, можно вычислить только приближенное сеточное значение функции U^(h).

Для нахождения U^(h) строим систему численных уравнений:

L_h(U^(h)) = f^(h) , (9.3)

где L_h – разностный оператор, соответствующий оператору L, f^(h) – разностный аналог правой части.Уравнение (9.3) является разностной схемой.

Таким образом, в методе сеток происходит замена пространства V (пространства непрерывных в D функций U) на пространство V_h (пространство, образованное совокупностью сеточных функций U_h , определенных на D_h.). В линейных пространствах V_h и F_h введем нормы и , которые являются сеточными аналогами норм в пространстве V и F.

Определение. Говорят, что разностная схема (9.3) является сходящейся, если при h  0 выполняется условие

. (9.4)

Если выполнено условие (с=const, s>0), то говорят, что имеет место сходимость со скоростью порядка s.

Определение. Говорят, что разностная схема (9.3) аппроксимирует задачу (9.2) на решение U , если

L_h(U_h ) = f^(h)+ f^(h) (9.5)

при h  0,

величина  f^(h) называется погрешностью аппроксимации.

Если (M=const, β >0), то говорят, что разностная схема (9.3) аппроксимирует задачу (9.2) с погрешностью порядка β относительно h.

Определение. Разностная схема (9.3) называется устойчивой, если существует такое h₀>0, что для всех h<h₀ и любых f^(h)F_h выполняются условия:

1) разностная схема (9.3) имеет единственное решение;

2) , где M – постоянная, не зависящая от h и f^(h).

Теорема. Пусть разностная схема L_h(U^(h)) = f^(h) аппроксимирует задачу LU = f на решение U с порядком s>0 относительно h и устойчива. Тогда эта схема будет сходящейся и порядок ее сходимости будет совпадать с порядком аппроксимации, т. е. будет справедлива оценка :

, (9.6)

где с – постоянная, не зависящая от h.

9.3. Решение уравнения параболического типа

Рассмотрим смешанную задачу для уравнения теплопроводности в одномерном пространстве. Необходимо определить функцию U(x,t), которая в области G = {0  x  1, 0 < t  T } удовлетворяет уравнению

, (9.7)

начальным условиям (при t=0 )

U(x,0)= (x), 0 x  1,

и на границе области G при x = 0 и x = 1 граничным условиям I рода:

U(0,t)=₁(t),

U(1,t)=₂(t), 0  t  T.

Будем считать, что задача имеет единственное решение, и это решение непрерывно в области G вместе со своими производными

. В области G построим равномерную сетку по правилу:

x_m=m h, m = 0,1,…,M, h = 1/M>0, h – шаг по пространству,

t_n=n , n = 0,1,…,N,  >0, N  T < (N+1)  ,  - шаг по времени.

Конфигурацию узлов, используемую для составления разностной схемы, называют шаблоном. Наиболее употребительны для уравнений параболического типа шаблоны:

(m,n+1)

- явный двухслойный шаблон;

(m-1,n) (m,n) (m+1,n)

(m-1,n) (m,n+1) (m+1,n+1) -неявный двухслойный шаблон

(m,n)

(m,n+1)

- явный трехслойный шаблон (в настоящее

(

^(m,n)

m-1,n) ( m+1, n) время не используется, так как, соответствующая

ему разностная схема неустойчива);

(m,n-1)