8.4. Метод Адамса

В вышеизложенных методах для задачи Коши значение y_i+1 зависело только от информации в предыдущей точке x_i (одношаговые методы). В многошаговых методах используют информацию в нескольких предыдущих точках x_i, x_i-1, x_i-2, …. .

На практике обычно используют явную и неявную формулы, что приводит к методу прогноза и коррекции. Одним из широко используемых методов прогноза и коррекции является объединение методов Адамса четвертого порядка.

y_i+1^(р)=y_i+ (55 f_i - 59 f_i-1 + 37 f_i-2 - 9 f_i-3),

f_i+1^(p)=f(x_i+1, y_i+1^(p) ),

y_i+1=y_i+ (9 f_i+1^(p)+19 f_i - 5 f_i-1 + f_i-2), i=3,…n .

Вычисленное значение y_i+1^(р), являющееся «прогнозом» для y_i+1, затем y_i+1^(р) используют для вычисления приближенного значения f_i+1, которое, в свою очередь, используют в формуле для вычисления y_i+1. В начале работы необходимо вычислить значения в точках y_i (i=1,2,3) с помощью одношагового метода того же порядка точности.

8.5. Метод Милна

Пусть для решения уравнения =f(x,y), кроме начального условия y(x₀)=y₀, найдены значения искомой функции y(x_i)=y_i в точках x_i=x₀+ih (i=1,2,3). Последующие значения y_i при i=4,5,… определим, используя формулы метода Милна:

y_i^пред=y_i-4+ (2 f_i-3 - f_i-2 + 2 f_i-1) (прогноз),

y_i^кор=y_i-2+ (f_i-2 – 4 f_i-1+f_i^пред), где f_i^пред=f(x_i, y_i^пред ) (коррекция).

Абсолютная погрешность _i значения y_i^кор приближенно определяется по формуле _i  y_i^кор- y_i^пред. Если точность результата достаточна, то полагают y_i  y_i^кор.

Задания

1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка:

• методом численного интегрирования,

• методом Эйлера (модифицированным),

• методом Рунге-Кутта второго и четвертого порядка точности,

• методом Адамса,

• методом Милна.

2. Сравнить полученные результаты с точным решением.

Варианты

1. =e^x y ²-2 y ; y(0)=1/2; x[0;2]; h=0,1; y_т= .

2. =e^x - е^-x ; y(0)=0; x[0;1]; h=0,1; y_т= .

3. =x - 2 x y; y(0)=0; x[0;1]; h=0,1; y_т= .

4. =sin (2 x) – y tg(x) ; y(0)=0; x[0;]; h=0,1; y_т=-2cos² x+2cos x.

5. =x y²+y ; y(0)=1; x[0;1]; h=0,1; y_т= .

6. =e^x-y - e^x ; y(0)=ln(2); x[0;1]; h=0,1; y_т=ln[1+2,7182818exp(-e^x)].

7. x +y=x sin (x) ; y( )= ; x[ ; ]; h=0,1 ; y_т= .

8. x -y=x² sin (x) ; y( )=1; x[ ; ]; h=0,1 ; y_т=x( - cos (x)).

9. x - y²+1=0 ; y(0,1)=0; x[0,1;1]; h=0,1; y_т= .

8.6. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка:

(k(x)u (x)) - q(x)u(x)+f(x)=0, a ≤ x ≥ b , (8.10) где k(x)  k_* >0 и q(x)  0 ,

и краевые условия в виде

u(a)= ₁ ,

u(b)= ₂ .

Приведем разностные аналоги первой и второй производной.

Аппроксимация первой производной слева :

= .

Аппроксимация первой производной справа :

= .

Аппроксимация первой производной в центре:

.

Аппроксимация второй производной :

=

8.6.1. Интегро-интерполяционный метод

Для решения задачи (8.10) используем разностную схему интегро-интерполяционного метода:

, (8.11)

y₀=₁, y_n=₂,

где

_i= , x_i= ih, h=(b-a)/n,

d_i= , _i= ,

x_i+1/2=x_i+ h/2, x_i-1/2=x_i - h/2.

Для вычисления первого интеграла применяем формулу трапеции, для последних двух - центральную формулу прямоугольника.