
- •Лекція 17: числові ряди
- •14.1. Числові ряди. Основні поняття та означення. Збіжність і сума ряду
- •Збіжність залишку. Необхідна умова збіжності.
- •Дії з рядами
- •14.2. Ряди з додатними членами
- •Достатні ознаки збіжності додатних рядів. Теореми порівняння
- •Гармонійний ряд
- •Ознаки Даламбера, Коші, Маклорена-Коші
- •14.3. Знакозмінні ряди
- •Лекція 18: функціональні ряди
- •14.4.Область збіжності
- •14.5.Правильна і рівномірна збіжність
- •14.6.Ознака Вейєрштрасса
- •Властивості рядів, що збігаються рівномірно
- •Степеневі ряди
- •Теорема Абеля. 1. Якщо ряд (14.27) збігається при деякому , то він абсолютно збігається при всіх , для яких .
- •14.7.Інтервал збіжності
- •14.8.Властивості степеневих рядів
- •14.9.Розвинення функцій у степеневі ряди. Ряд Тейлора
- •14.10.Застосування степеневих рядів у наближених обчисленнях
Лекція 18: функціональні ряди
14.4.Область збіжності
Розглянемо
послідовність
,
елементами якої є функції, визначені і
неперервні в деякій області
.
З елементів функціональної послідовності
складається функціональний ряд
(14.19)
При
кожному фіксованому
будемо мати числовий ряд. Значення
,
при якому ряд збігається, називається
точкою
збіжності ряду.
Сукупність усіх точок збіжності називається областю збіжності функціонального ряду.
Приклад 11. Визначити область збіжності функціонального ряду
.
Всі
члени ряду визначені і неперервні на
всій числовій прямій, крім точки х=-1.
Якщо
,
то
і
,
тобто не виконується необхідна умова збіжності (14.8).
Якщо
х=1,
то
і необхідна умова збіжності також не
виконується.
Якщо
,
то даний ряд збігається абсолютно, бо
збігається ряд з модулів. Це випливає
з теореми порівняння. За теоремою 2 ряд
з модулів поводить себе так само, як ряд
з загальним членом
.
Дійсно,
.
Але
ряд
є геометричною прогресією із знаменником
.
З того, що
,
випливає, що знаменник менший за одиницю
і прогресія збігається. Тобто наш ряд
збігається абсолютно при
.
Область
збіжності:
.
14.5.Правильна і рівномірна збіжність
Функціональний
ряд (14.19) називається правильно збіжним
в інтервалі
,
якщо його члени на цьому інтервалі
задовольняють нерівності
. (14.20)
де
,
- числовий ряд з додатними членами, що
збігається. Такий ряд називається
мажорантою
даного
функціонального ряду.
Якщо ряд збігається правильно, то він збігається рівномірно.
Зворотне твердження в загальному випадку не виконується.
Приклад 12. Знайти область правильної збіжності функціонального ряду
.
Для
всіх х
буде виконуватись нерівність
,
тому мажорантою даного функціонального
ряд буде числовий ряд
,
збіжність якого можна встановити за
допомогою ознаки Коші:
.
З цього можна зробити висновок, що даний ряд збігається на всій числовій осі.
Функціональний
ряд (19) називається рівномірно збіжним
в області
,
якщо послідовність його частинних сум
збігається рівномірно в цій області.
Це буде за умови, якщо для будь-якого
існує такий номер
,
що нерівність
(14.21)
справджується
при всіх
і всіх
.
14.6.Ознака Вейєрштрасса
Якщо члени ряду (14.19) задовольняють нерівності (14.20)
для
всіх
,
і числовий ряд з додатними членами
збігається, то ряд
збігається в області
рівномірно.
Властивості рядів, що збігаються рівномірно
1. Неперервність суми ряду.
Якщо
функції
визначені і неперервні в деякій області
і ряд (14.19) збігається в області
рівномірно до суми
,
то ця сума буде неперервною в області
.
2. Почленний перехід до границі.
Нехай
кожна з функцій
,
де
,
визначена в області
і має при
скінчену границю
. (14.22)
Якщо
в області
рівномірно збігається ряд (19), то
збігається і числовий ряд
до суми С,
а сума функціонального ряду також має
границю при
,
причому
. (14.23)
3. Почленне інтегрування ряду.
Нехай
ряд (14.19) збігається рівномірно в деякому
проміжку
до неперервної функції
,
а члени ряду
,
де
,
також неперервні в проміжку
.
Тоді ряд, утворений з інтегралів функцій,
також збігається рівномірно до функції,
яка дорівнює інтегралу від
на
(
):
. (14.24)
Тобто якщо ряд збігається рівномірно, то його можна почленно інтегрувати.
4. Почленне диференціювання ряду.
Нехай
функції
визначені в деякому проміжку
і мають на ньому неперервні похідні
.
Якщо в цьому проміжку не тільки збігається
ряд (19), але й рівномірно збігається ряд,
створений з похідних,
, (14.25)
то сума ряду (19) має в похідну, яка дорівнює сумі ряду похідних.
Тобто при виконанні наведених умов стає можливим почленне диференціювання ряду
. (14.26)