- •Лекція 17: числові ряди
- •14.1. Числові ряди. Основні поняття та означення. Збіжність і сума ряду
- •Збіжність залишку. Необхідна умова збіжності.
- •Дії з рядами
- •14.2. Ряди з додатними членами
- •Достатні ознаки збіжності додатних рядів. Теореми порівняння
- •Гармонійний ряд
- •Ознаки Даламбера, Коші, Маклорена-Коші
- •14.3. Знакозмінні ряди
- •Лекція 18: функціональні ряди
- •14.4.Область збіжності
- •14.5.Правильна і рівномірна збіжність
- •14.6.Ознака Вейєрштрасса
- •Властивості рядів, що збігаються рівномірно
- •Степеневі ряди
- •Теорема Абеля. 1. Якщо ряд (14.27) збігається при деякому , то він абсолютно збігається при всіх , для яких .
- •14.7.Інтервал збіжності
- •14.8.Властивості степеневих рядів
- •14.9.Розвинення функцій у степеневі ряди. Ряд Тейлора
- •14.10.Застосування степеневих рядів у наближених обчисленнях
14.9.Розвинення функцій у степеневі ряди. Ряд Тейлора
З’ясуємо, коли можна стверджувати, що задана функція є сума деякого степеневого ряду.
По-перше, сума степеневого ряду має нескінченну кількість похідних в інтервалі збіжності. Це необхідна умова того, що є сума. Достатню з’ясуємо, коли побудуємо ряд для .
Припустимо, що функція має нескінчену кількість похідних в околі точки і вона є сумою степеневого ряду в цьому околі:
. (14.34)
Коефіцієнти ряду залежать від функції . Вони невідомі, і треба їх визначити.
Візьмемо похідних від обох частин рівності (34):
(14.35)
……………………………………………………………………..
.
Покладемо в рівностях (14.34) та (14.35) . Тоді визначимо коефіцієнти через значення функції та її похідних в точці , а саме:
, , , …, . (14.36)
Підставивши знайдені значення коефіцієнтів у формулу (14.34), отримаємо остаточно степеневий ряд, сумою якого є функція :
(14.37)
або в скороченому записі
. (14.38)
Ряд (14.37) або (14.38) називається рядом Тейлора для функції . Частинний випадок, коли , дає так званий ряд Маклорена:
або
. (14.39)
У записах через суму мається на увазі, що 0!=1.
Отримали розвинення функції у степеневий ряд, припустивши, що це можливо. Тепер повернемось до достатньої умови розвинення функції у степеневий ряд.
Нехай - многочлен -ого ступеня, який є -ою частинною сумою ряду Тейлора:
. (14.40)
Хоча коефіцієнти ряду Тейлора для функції визначені через значення функції та її похідних у точці , це ще не забезпечує збіжність ряду Тейлора саме до функції . Якщо ряд Тейлора збігається до , то, за визначенням, буде виконуватись рівність
або
. (14.41)
Вираз - залишок ряду Тейлора для функції . Таким чином, отримуємо достатню умову розвинення функції в ряд Тейлора: для того, щоб функція при деякому значенні була сумою степеневого ряду, необхідно, щоб вона була диференційована нескінченну кількість разів, і достатньо, щоб залишок ряду Тейлора прямував до нуля при при цьому значенні , тобто щоб справджувалась рівність
. (14.42)
При дослідженні залишку ряду користуються його виразом у формі Лагранжа:
, (14.43)
а також виразом залишку у формі Коші:
, (14.44)
де - правильний додатний дріб:
. (14.45)
Практично при розвиненні функції у степеневий ряд беруть конкретне число членів, щоб витримати точність обчислення. Залишок дає помилку, яка виникає при заміні функції многочленом Тейлора .
Зауваження. Якщо в околі точки функція може бути розвинена у степеневий ряд, то останній може бути тільки рядом Тейлора.
Коефіцієнти степеневого ряду (14.34) визначаються однозначно, вони є коефіцієнтами Тейлора (14.36).
Приклад 16. Розвинути у степеневий ряд функцію в околі точки .
Знайдемо похідних заданої функції:
; ; ; ; ; . ; ;… .
Обчислимо коефіцієнти Тейлора в точці :
, , ;
, ;
, …;
, … .
Підставимо ці значення у ряд (14.34):
, .