- •Лекція 17: числові ряди
- •14.1. Числові ряди. Основні поняття та означення. Збіжність і сума ряду
- •Збіжність залишку. Необхідна умова збіжності.
- •Дії з рядами
- •14.2. Ряди з додатними членами
- •Достатні ознаки збіжності додатних рядів. Теореми порівняння
- •Гармонійний ряд
- •Ознаки Даламбера, Коші, Маклорена-Коші
- •14.3. Знакозмінні ряди
- •Лекція 18: функціональні ряди
- •14.4.Область збіжності
- •14.5.Правильна і рівномірна збіжність
- •14.6.Ознака Вейєрштрасса
- •Властивості рядів, що збігаються рівномірно
- •Степеневі ряди
- •Теорема Абеля. 1. Якщо ряд (14.27) збігається при деякому , то він абсолютно збігається при всіх , для яких .
- •14.7.Інтервал збіжності
- •14.8.Властивості степеневих рядів
- •14.9.Розвинення функцій у степеневі ряди. Ряд Тейлора
- •14.10.Застосування степеневих рядів у наближених обчисленнях
Гармонійний ряд
Гармонійним називається ряд
. (14.11)
Цей ряд першим в історії математики був досліджений на збіжність. Необхідна умова збіжності виконується:
.
Але ще Я. Бернулі довів, що цей ряд є розбіжним.
Гармонійний ряд і геометрична прогресія найчастіше вибираються для порівняння згідно з теоремами 1 і 2. Також використовують узагальнений гармонійний ряд:
(14.12)
Він збігається, якщо , і розбігається, якщо .
Приклад 3. Дослідити на збіжність числовий ряд
.
Починаючи з другого члена, виконується нерівність
.
Ряд
є геометрична прогресія. Її знаменник , так що прогресія збіжна. За теоремою 1 маємо, що досліджуваний ряд також є збіжним.
Приклад 4. Дослідити на збіжність числовий ряд
.
Знайдемо
.
Необхідна умова виконується, але прямує до нуля як , тому що . Враховуючи це, виберемо як ряд порівняння гармонійний ряд і застосуємо теорему 2:
,
Тобто досліджуваний ряд повинен бути розбіжним, бо гармонійний ряд розбігається.
Ознаки Даламбера, Коші, Маклорена-Коші
Ознака Даламбера. Якщо , починаючи з деякого номера, і існує границя (скінчена або нескінчена)
, (14.13)
то при ряд збігається, при - розбігається. Якщо , то ознака не дає відповіді на питання збіжності.
Приклад 5. Дослідити на збіжність числовий ряд
.
Зауважимо, що . За ознакою Даламбера
Тому ряд збігається.
Приклад 6. Дослідити на збіжність ряд
.
За ознакою Даламбера
Ознака відповіді про збіжність чи розбіжність ряду не дає. Але за необхідною ознакою збіжності маємо
, тобто ряд є розбіжним.
Радикальна ознака Коші. Якщо , починаючи з деякого номера, і існує границя (скінчена або нескінчена)
, (14.14)
то при ряд збігається, при - розбігається. При ознака відповіді на питання, розбіжний ряд чи збіжний, не дає.
Приклад 7. Дослідити на збіжність числовий ряд
.
За радикальною ознакою
,
тобто ряд збігається.
Інтегральна ознака Маклорена-Коші. Нехай члени ряду додатні і монотонно спадають:
і - така неперервна монотонно спадна функція, що , тоді ряд і невласний інтеграл І-го роду
(14.15)
збігаються або не збігаються одночасно.
Приклад 8. Дослідити на збіжність числовий ряд
.
Члени ряду додатні і монотонно спадають:
.
Введемо неперервну функцію . Тоді .
Розглянемо невласний інтеграл
Інтеграл розбігається. Тому за ознакою Коші-Маклорена ряд також розбігається.
14.3. Знакозмінні ряди
Знакозмінним називається ряд, в якому є нескінченна кількість як додатних, так і від’ємних членів.
Якщо ряд (1) збігається одночасно з рядом з модулів
, (14.16)
то ряд (14.1) називається абсолютно збіжним.
Якщо ряд (14.1) збігається, а ряд (14.16) розбігається, то ряд (14.1) називається умовно збіжним.
Теорема Коші. Щоб збігався знакозмінний ряд (14.1), достатньо, щоб збігався додатній ряд з модулів (14.16).
Ця умова не є необхідною для збіжності ряду, але коли вона виконується, ряд збігається абсолютно.
Ознака Лейбніца. Якщо знакозмінний ряд має вигляд
, (14.17)
де , і його члени монотонно спадають за абсолютною величиною, тобто , і існує границя
, (14.18)
то ряд збігається.
Ознака Лейбніца не дає відповіді на запитання, як збігається ряд: абсолютно чи умовно. Тут потрібне додаткове дослідження.
Приклад 9. Дослідити на умовну або абсолютну збіжність числовий ряд
.
По-перше, перевіримо, чи виконується необхідна умова збіжності:
.
Необхідна умова виконується. Модулі членів ряду утворюють монотонно спадну послідовність
.
Тому за ознакою Лейбніца ряд збігається. Щоб з’ясувати, умовно він збігається чи абсолютно, розглянемо ряд з модулів
.
Цей ряд є частинним випадком узагальненого гармонійного ряду (14.12), коли . При ряд розбігається. Розбіжність легко перевірити, використовуючи інтегральну ознаку. Інтеграл
є розбіжним. Тому розглянутий знакозмінний ряд збігається умовно.
Приклад 10. Дослідити на умовну та абсолютну збіжність ряд
.
Очевидно, що . Ряд з додатними членами
.
також є узагальненим гармонійним рядом при р=2. Ряд збігається, тому що . За першою теоремою порівняння буде збіжним і ряд
.
Це ряд з модулів членів заданого знакозмінного ряду. За теоремою Коші його збіжність забезпечує абсолютну збіжність знакозмінного ряду.