- •6.100300 «Експлуатація суднових
- •Передмова
- •Мета роботи
- •Структура заняття
- •Вимоги до оформлення задач
- •1. Основні поняття кінематики. Кінематика поступального руху матеріальної точки.
- •Приклади розв’язування задач
- •Питання для перевірки знань
- •Задачі для розв’язування на практичному занятті
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Приклади розв’язування задач
- •Питання для перевірки знань
- •Задачі для розв’язування на практичному занятті
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Практичне заняття № 3 Тема: Динаміка руху точки по колу. Рух тіла зі змінною масою Теоретичні відомості
- •Приклади розв’язуваня задач
- •Питання для перевірки знань
- •Задачі для розв’язування на практичних заняттях
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Приклади розв’язування задач
- •Питання для перевірки знань
- •Задачі для розв’язування на практичних заняттях
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Практичне заняття № 5 Тема: Закон збереження імпульсу. Теорія пружних і непружних зіткнень Теоретичні відомості
- •Приклади розв’язування задач
- •Питання для перевірки знань
- •Задачі для розв’язування на практичному занятті
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Практичне заняття № 6 Тема: Динаміка обертального руху тіла. Умови рівноваги тіла Теоретичні відомості
- •Приклади розв’язування задач
- •Питання для перевірки знань
- •Задачі для розв’язування на практичному занятті
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Список рекомендованої літератури
Практичне заняття № 3 Тема: Динаміка руху точки по колу. Рух тіла зі змінною масою Теоретичні відомості
Нехай частинка А, що має імпульс , рухається по дузі кола навколо точки О. Положення точки характеризується радіус-вектором , який спрямований до точки А з точки О. Моментом імпульсу частинки А відносно точки О називають вектор , який дорівнює векторному добутку векторів і :
.
Напрямок вектора обраний так, що обертання навколо точки О в напрямку вектора і вектор утворять правогвинтову систему. Модуль вектора дорівнює:
,
де – кут між векторами і , – плече вектора щодо точки О.
Знайдемо величину, яка відповідає за зміну вектора в даній системі відліку. Для цього продиференціюємо формулу моменту імпульсу за часом:
.
Так як точка О нерухома, то вектор дорівнює швидкості частинки, тобто збігається за напрямком з вектором , тому
.
Відповідно з другим законом Ньютона
,
де – рівнодіюча всіх сил, прикладених до частинки.
Отже,
.
Моментом сили щодо вісі обертання О називається векторна фізична величина, яка дорівнює векторному добутку радіус-вектора і сили, що діє на точку:
.
Напрямок і модуль вектора визначається так само, як і :
,
де – плече сили .
Рівняння моментів: швидкість зміни моменту імпульсу частинки відносно деякої точки О обраної системи відліку дорівнює моменту рівнодіючої сили відносно тієї ж точки О:
.
Якщо система відліку є неінерціальною, то момент сили містить у собі як момент сил взаємодії, так і момент сил інерції (відносно тієї ж точки О).
М омент імпульсу і момент сили відносно вісі. Візьмемо в деякій системі відліку довільну нерухому вісь Z. Нехай щодо деякої точки О на вісі Z момент імпульсу частинки А дорівнює , а момент сили, що діє на частинку, . Моментом імпульсу відносно вісі Z називають проекцію на цю вісь вектора , визначеного відносно довільної точки О даної вісі. Моментом сили відносно вісі Z називають проекцію на цю вісь вектора , визначеного відносно довільної точки О на вісі. Рівняння моментів у проекціях на вісь Z буде мати вигляд:
.
Знайдемо аналітичні вирази для проекцій моменту імпульсу і моменту сили. Для цього знайдемо проекцію на вісь Z векторних добутків і . Скористаємося циліндричною системою координат , , z, зв'язавши з точкою А орти , які спрямовані убік зростання відповідних координат. У цій системі координат радіус-вектор і імпульс частинки зображаються так:
, ,
де р, p, рz – проекції вектора на відповідні орти.
З векторної алгебри відомо, що векторний добуток може бути представлено визначником:
, ,
відкіля одержуємо формули для проекцій моменту імпульсу і моменту сили на вісь Z:
, ,
де – найкоротша відстань частинки від вісі Z. Так як проекція імпульсу частинки на орт дорівнює , а , то в остаточному підсумку вираз для моменту імпульсу здобуває вигляд:
.
Моментом інерції точки відносно довільної вісі обертання називається фізична величина, яка дорівнює добутку маси точки на квадрат найкоротшої відстані від вісі обертання до лінії, уздовж якої спрямований вектор імпульсу:
.
З урахуванням останнього визначення формула для моменту імпульсу здобуває вигляд:
.
Продиференціюємо останнє рівняння за часом:
або
.
Отримане рівняння є другим законом Ньютона для руху точки по колу. У векторній формі воно має вигляд:
.
Розглянемо випадок, коли в процесі руху маса матеріальної точки змінюється. Нехай у деякий момент часу t маса тіла, що рухається, m і її швидкість . Через деякий час маса змінюється на , а швидкість збільшиться на . При цьому маса , що відокремилася, має швидкість щодо даного тіла. За ІІ законом Ньютона:
,
де – рівнодіюча зовнішніх сил, що діють на тіло.
Зв'яжемо ІСВ з тілом у момент часу t. В обраній СВ тіло в момент початку спостереження знаходиться в стані спокою. Визначимо зміну імпульсу системи тіл:
, .
Розділимо отриманий вираз на dt:
.
Так як , то після відповідної заміни одержуємо:
.
Отримане рівняння називають основним рівнянням динаміки точки змінної маси або рівнянням Мещерського. – реактивна сила, яка виникає внаслідок дії на тіло маси, що відокремлюється або приєднується. Після замін одержуємо основне рівняння динаміки при русі тіла змінної маси:
Окремі випадки застосування основного рівняння динаміки:
нехай . У цьому випадку і основне рівняння динаміки приймає вигляд:
;
нехай система замкнена :
, , .
Якщо у момент часу t тіло не рухається, то
, і – формула Ціолковського.
З формули Ціолковського випливає, що швидкість ракети спрямована протилежно швидкості вильоту газів (при ), не залежить від часу згоряння палива, а визначається тільки відношенням початкової маси ракети до маси, що залишилася.