Приклади розв’язування задач
Задача 1. На двох шнурах однакової довжини, яка дорівнює 0,8 м, підвішені дві свинцевих кулі масами 0,5 і 1 кг. Кулі стикаються між собою. Кулю меншої маси відвели убік так, що шнур відхилився на кут = 60°, і відпустили. На яку висоту піднімуться обидві кулі після зіткнення? Удар вважати центральним і непружним. Визначити енергію, яка витрачається на деформацію куль при ударі.
Р
озв’язування.
Так як удар куль непружний, то після
удару кулі будуть рухатися з загальною
швидкістю v.
Закон збереження імпульсу при цьому
ударі має вигляд:
(1)
Тут v1 і v2 – швидкості кульок до удару. Швидкість великої кулі до удару дорівнює нулю. Швидкість меншої кулі знайдемо використовуючи закон збереження енергії. При відхиленні меншої кулі на кут вона здобуває потенціальну енергію, яка потім переходить у кінетичну:
.
Із рисунка видно, що
,
тому:
.
(2)
З рівнянь (1) і (2) знаходимо швидкість куль після удару:
.
(3)
Кінетична енергія, яку мають кулі після удару, переходить у потенціальну:
(4)
де h – висота, на яку піднімуться кулі після зіткнення.
З формули (4) знаходимо
.
Враховуючи (3), отримаємо:
,
.
При иепружньому ударі куль частина енергії витрачається на їхню деформацію. Енергія деформації знаходиться як різниця кінетичних енергій до і після удару:
.
Використовуючи рівняння (2) і (3), одержуємо:
,
.
Задача 2. Молот масою 70 кг падає з висоти 5 м і вдаряє по залізному виробу, що лежить на ковадлі. Маса ковадлі разом з виробом 1330 кг. Вважаючи удар абсолютно непружним, визначити енергію, що витрачається на деформацію виробу. Систему вважати замкнутою.
Розв’язування. За умовою задачі система молот-виріб-ковадло вважається замкнутою, а удар непружний. За законом збереження енергії можна вважати, що енергія, яка витрачена на деформацію виробу, дорівнює різниці значень механічної енергії системи до і після удару. Вважаємо, що під час удару змінюється тільки кінетична енергія тіл, тобто незначним переміщенням тіл по вертикалі під час удару зневажаємо. Тоді для енергії деформації виробу маємо:
(1)
де v – швидкість молота наприкінці падіння з висоти h, v’ – швидкість тіл системи після непружнього удару.
Швидкість молота наприкінці падіння визначається без врахування опору повітря і тертя за формулою
.
(2)
Загальну швидкість тіл системи після непружнього удару знайдемо за допомогою закону збереження імпульсу:
(3)
Для розглянутої системи закон збереження імпульсу має вигляд:
,
відкіля знаходимо:
(4)
Підставивши у формулу (1) вираження (2) і (4), одержимо:
.
Задача
3.
Тіло масою 1 кг під дією постійної сили
рухається прямолінійно. Залежність
шляху, який пройшло тіло, від часу задана
рівнянням
Визначити роботу сили за 10 с з початку
її дії і залежність кінетичної енергії
від часу.
Розв’язування. Робота, яку виконує сила, виражається наступним чином:
(1)
Сила, що діє на тіло, за другим законом Ньютона дорівнює
.
(2)
Миттєве значення прискорення знайдемо як другу похідну від шляху за часом:
(3),
(4)
Тоді
.
(5)
З вираження (3) визначимо ds:
(6)
Підставивши (5) і (6) у рівняння (1), одержимо
.
По цій формулі визначимо роботу, яку виконує сила за 10 с з початку її дії:
.
Кінетичну енергію знайдемо за формулою:
.
(7)
Підставляючи (3) у (7), маємо:
