Приклади розв’язування задач

Задача 1. Тонкий стрижень масою 300 г довжиною 50 см обертається з кутовою швидкістю 10 с^–1 у горизонтальній площині навколо вертикальної осі, що проходить через середину стрижня. Знайти кутову швидкість, якщо в процесі обертання в тій же площині стрижень переміститься так. що вісь обертання пройде через кінець стрижня.

Розв’язування. Використовуємо закон збереження моменту імпульсу:

(1)

де J – момент інерції стрижня відносно вісі обертання.

Для ізольованої системи тіл векторна сума моментів імпульсу не змінюється. У даній задачі внаслідок того, що розподіл маси стрижня відносно вісі обертання змінюється, момент інерції стрижня також зміниться. У відповідності з (1) запишемо:

. (2)

Відомо, що момент інерції стрижня відносно вісі, що проходить через центр мас і перпендикулярної стрижню, дорівнює:

(3)

За теоремою Штейнера

,

де J– момент інерції тіла відносно довільної вісі обертання; J₀ – момент інерції відносно паралельної вісі, що проходить через центр мас; d – відстань від центра мас до обраної вісі обертання.

Знайдемо момент інерції вісі, що проходить через його кінець і перпендикулярної стрижню:

(4)

Підставимо формули (3) і (4) у (2), отримуємо:

відкіля .

Задача 2. Маховик масою 4 кг довільно обертається з частотою 720 об/хв. навколо горизонтальної осі, що проходить через його центр. Масу маховика можна вважати рівномірно розподіленою по його ободу радіусом 40 см. Через 30 с під дією гальмуючого моменту маховик зупинився. Знайти гальмуючий момент і число обертів, що зробить маховик до повної зупинки.

Розв’зування. Для визначення гальмуючого моменту М сил, діють на тіло, потрібно застосувати основне рівняння динаміки обертального руху:

(1)

де J – момент інерції маховика відносно вісі, що проходить через центр мас; – зміна кутової швидкості за проміжок часу

За умовою задачі,

,

де – початкова кутова швидкість.

Знак «–» з’явився тому що кінцева кутова швидкість  = 0. Виразимо початкову кутову швидкість через частоту обертання маховика. Тоді

і .

Момент інерції маховика

,

де m – маса маховика; R – його радіус.

Тоді формула (1) приймає вигляд:

,

відкіля знаходимо:

Кут повороту, тобто кутовий шлях φ, за час обертання маховика до зупинки може бути визначений по формулі для рівносповільненого обертання:

(2)

де  – кутове прискорення.

За умовою задачі

Тоді вираз (2) може бути записаний так:

Оскільки то число повних обертів

Питання для перевірки знань

1. Момент сили і момент імпульсу частинки. Рівняння моментів.

2. Момент імпульсу і момент сили відносно вісі. Момент інерції точки. Другий закон Ньютона для обертального руху точки.

3. Кінетична енергія обертального руху матеріальної точки. Момент імпульсу системи тел. Закон збереження моменту імпульсу.

4. Умови рівноваги твердого тіла. Момент інерції твердого тіла. Теорема Штейнера.

5. Рівняння динаміки обертання твердого тіла. Робота зовнішніх сил при обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі.

6. Плоский рух твердого тіла. Кінетична енергія при плоскому русі твердого тіла.