Модуль 4 Основы финансовой математики

Эффективность любой финансовой операции, предполагающей наращение исходной суммы PV до ожидаемой в будущем к получению суммы FV (РV → FV), может быть охарактеризована ставкой.

Процентная ставка (процент, рост, ставка процента, норма прибыли, доходность) рассчитывается отношением наращения (FV-PV) к исходной (базовой) величине PV.

Учетная ставка (дисконт) рассчитывается отношением наращения (FV-PV) к ожидаемой в будущем к получению, или наращенной, величине FV.

Соотношение между ставками

Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка (процентная или учетная), в финансовых вычислениях называется процессом наращения, искомая величина - наращенной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой наращения. В данном случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему.

Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина - приведенной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой дисконтирования. В данном случае речь идет о движении от будущего к настоящему.

Пример:

Предприятие получило кредит на один год в размере 5 тыс. руб. с условием возврата 10 тыс. руб. В этом случае процентная ставка равна 100%, а дисконт – 50%.

В финансовом менеджменте понятие приведенной («сегодняшней») стоимости является одним из ключевых. «Сегодняшняя стоимость» вовсе не означает, что речь идет о стоимости «сегодня», в данный момент времени; этим термином обозначена дисконтированная величина некоторой денежной суммы, ожидаемой к получению в будущем, причем дисконтирование может выполняться на любой момент, представляющий интерес для аналитика. В финансовых операциях в качестве ставки дисконтирования может использоваться либо процентная ставка, либо учетная ставка.

Величина FV показывает как бы будущую стоимость «сегодняшней» величины PV при заданном уровне доходности.

Величина PV показывает как бы текущую, «сегодняшнюю» стоимость будущей величины FV.

Известны две основные схемы начисления процентов. Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Схема сложных процентов предполагает их капитализацию, т.е. база, с которой происходит начисление, постоянно возрастает на величину начисленных ранее процентов. Очевидно, что более частое начисление сложных процентов обеспечивает более быстрый рост наращиваемой суммы.

Схема простых процентов более выгодна при проведении операций краткосрочного характера (п < 1), а схема сложных процентов -проведении операций долгосрочного характера (п > 1), где п — число начислений процентов.

Формула простых процентов

Формула сложных процентов

где Р — исходный инвестируемый капитал;

F — размер инвестируемого капитала через n периодов;

r — годовая ставка (требуемая доходность).

FM1(r%,n) — мультиплицирующий множитель для единичного платежа (см.приложение).

Пример 1:

Рассчитать наращенную сумму с исходной суммы в 1 тыс. руб. при размещении ее в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если: 1) годовая ставка 20%; 2) периоды наращения: квартал, полугодие, 1 год, 5 лет, 10 лет.

F1= 1 т.р. * (1+0,2*1/4) = 1,05

Результаты расчета занесем в таблицу:

Схема начисления	квартал (n=1/4)	полугодие (n=1/2)	1 год (n=1)	5 лет (n=5)	10 лет (n=10)
Простые проценты =Р*(1+r*п)	1,05	1,1	1,2	2	3
Сложные проценты =P*(1+r)n	1,0466	1,0954	1,2	2,4883	6,1917

Таким образом, если денежные средства размещены в банке на срок менее года, то наращенная сумма по схеме начисления простых процентов будет больше, чем по схеме сложных процентов. Если срок размещения более года, то наращенная сумма будет больше по схеме сложных процентов.

Внутригодовые начисления в рамках одного года

где r — годовая ставка;

t — продолжительность периода начисления, дней;

T — продолжительность года, дней.

Пример 2:

10.02. банк заключил договор с вкладчиком на условиях выдачи вклада по первому требованию (вклад до востребования). Первоначальная сумма вклада 200 тыс. руб. Процентная ставка 1,5%, начисленные проценты не увеличивают сумму основного вклада.

20.02. вкладчик снимает с вклада 50 тыс. руб.

10.03. банк принимает решение об увеличении процентной ставки по вкладам до востребования до 2%.

30.03. вкладчик снимает оставшуюся сумму вклада и начисленные за весь период проценты. Определите эту сумму.

Решение

1. Количество дней 10.02 по 20.02 = 11-1=10 дней

20.02 по 10.03 = 19-1=18 дней

10.03 по 30.03 = 21-1=20 дней

2. Сумма вклада на момент закрытия счета

Формула дисконтированной (приведенной) стоимости

F_n — денежное поступление в году n;

Р — текущая стоимость, т.е. оценка величины F_n с позиции текущего момента;

r — ставка дисконтирования.

FM2(r%,n) — дисконтирующий множитель для единичного платежа. Он показывает «сегодняшнюю» цену одной денежной единицы будущего, т.е. чему с позиции текущего момента равна одна денежная единица через n периодов от момента расчета, при заданных процентной ставке (доходности) r и частоте начисления процента.

Пример 3:

Через полгода после заключения финансового соглашения о получении кредита должник обязан заплатить 2,14 тыс. руб. Какова первоначальная величина кредита, если он выдан под 14% годовых.

В финансовых вычислениях базовым периодом является год, поэтому обычно говорят о годовой ставке. Вместе с тем достаточно широко распространены краткосрочные операции продолжительностью до года. В этом случае за основу берется дневная ставка (находим период обращения денежных средств по отношению к году).

Пример 4:

Предоставлена ссуда в размере 7 тыс. руб. 10 февраля с погашением 10 июня под 20% годовых. Рассчитать сумму к погашению.

Внутригодовые процентные начисления с целым числом лет

где r — годовая ставка;

m — количество начислений в году;

k — количество лет.

Пример 5.

Вложены деньги в банк в сумме 5 тыс.руб. на два года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. В этом случае начисление процентов производится 4 раза по ставке 10% (20%/2), а схема возрастания капитала будет иметь вид:

Период (мес).	Расчетный период, лет	Сумма, с которой идет начисление, т.р.	Количество начислений в год	Годовая ставка	Сумма к концу периода
6	0,5	5	2	0,2	5,5
12	1	5,5	2	0,2	6,05
18	1,5	6,05	2	0,2	6,655
24	2	6,655	2	0,2	7,3205

Пример 6. (Аналогично предыдущему примеру)

В условиях предыдущего примера проанализировать, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если проценты начислялись ежеквартально.

Период (мес).	Расчетный период, лет	Сумма, с которой идет начисление, т.р.	Количество начислений в год	Годовая ставка	Сумма к концу периода
3	0,25	5	4	0,2	5,25
6	0,5	5,25	4	0,2	5,513
9	0,75	5,513	4	0,2	5,788
12	1	5,788	4	0,2	6,078
15	1,25	6,078	4	0,2	6,381
18	1,5	6,381	4	0,2	6,700
21	1,75	6,700	4	0,2	7,036
24	2	7,036	4	0,2	7,387

При начислении процентов за дробное число лет более эффективна смешанная схема, предусматривающая начисление сложных процентов за целое число лет и простых процентов за дробную часть года.

Начисление процентов за дробное число лет:

а) по формуле сложных процентов:

б) по смешанной схеме

где w — целое число лет;

f — дробная часть года.

Пример 7:

Банк предоставил ссуду в размере 10 тыс.руб. на 30 месяцев под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

30 месяцев это 2 года + 0,5 года

Пример 8:

Рассчитать накопленную сумму для различных вариантов начисления процентов за год, если исходная сумма = 1млн. руб. и r = 10%.

Первоначальная сумма	Частота начисления	Количество начислений в год	Процентная ставка	Накопленная сумма
1000000	ежегодное	1	0,1	1100000,00
1000000	полугодовое	2	0,1	1102500,00
1000000	квартальное	4	0,1	1103812,89
1000000	ежемесячное	12	0,1	1104713,07
1000000	ежедневное	365	0,1	1105155,78

Эффективная процентная ставка позволяет сравнивать финансовые операции с различной частотой начисления и неодинаковыми процентными ставками. Именно эта ставка характеризует реальную эффективность операции, однако во многих финансовых контрактах речь чаще всего идет о номинальной ставке, которая в большинстве случаев отличается от эффективной.

Эффективная годовая ставка определяется

r – годовая процентная ставка (номинальная)

m – число начислений сложных процентов

Эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом m она увеличивается. Для каждой номинальной ставки можно найти соответствующую ей эффективную ставку; две эти ставки совпадают лишь при m=1.

Меняя частоту начисления процентов или вид ставки, можно существенно влиять на эффективность операции. В частности, оговоренная в контракте ставка в r% может при определенных условиях вовсе не отражать истинный относительный доход (относительные расходы). Например, 60% годовых при условии ежедневного начисления процентов соответствуют на самом деле 82,1%, начисляемых ежегодно.

Пример 9.

Предприниматель может получить ссуду: 1) на условиях ежемесячного начисления процентов из расчета 26% годовых; 2) либо на условиях полугодового начисления процентов из расчета 27% годовых. Какой вариант предпочтителен?

Относительные расходы предпринимателя по обслуживанию ссуды могут быть определены с помощью расчета эффективной годовой процентной ставки – чем она выше, тем больше уровень расходов.

1. вариант:

2. вариант:

Таким образом, вариант 2 предпочтительнее для предпринимателя, так как обслуживание ссуды обходится дешевле.

Пример 10:

Рассчитайте эффективную годовую процентную ставку при различной частоте начисления процентов, если номинальная ставка равна 30%.

Номинальная ставка	Частота начислений	Количество внутригодовых начислений	Эффективная ставка
0,3	ежегодное	1	0,3
0,3	полугодовое	2	0,32250
0,3	квартальное	4	0,33547
0,3	ежемесячное	12	0,34489
0,3	ежедневное	365	0,34969

Пример 11.

Определить номинальную ставку, если эффективная ставка равна 18% и сложные проценты начисляются ежемесячно.

Поскольку r_e = 0,18 и m = 12, то:

Таким образом, ежегодное начисление сложных процентов по ставке 18% годовых дает тот же результат, что и ежемесячное начисление сложных процентов по ставке 16,67%.

Одним из ключевых понятий в финансовом менеджменте является понятие денежного потока как совокупности притоков и/или оттоков денежных средств, имеющих место за равные временные интервалы.

Денежный поток, срок действия которого ограничен, называется срочным; если притоки (оттоки) осуществляются неопределенно долго, денежный поток называется бессрочным. Если притоки (оттоки) осуществляются в начале периодов, денежный поток носит название пренумерандо, если в конце периодов — постнумерандо.

При анализе денежных потоков в большинстве случаев его элементы не могут быть просуммированы непосредственно - должна быть учтена временная компонента.

Начало денежного потока и момент, на который делается оценка или к которому приводится денежный поток (потоки), могут не совпадать. Денежные потоки в сравнительном анализе в принципе можно приводить к любому моменту времени, однако, как правило, выбирается либо начало, либо конец периода действия одного из денежных потоков.

Известны две задачи оценки денежного потока с учетом фактора времени: прямая и обратная. Первая задача позволяет оценить будущую стоимость денежного потока; для понимания экономической сущности этой задачи ее легче всего увязывать с процессом накопления денег в банке и оценкой величины наращенной суммы, которая задача позволяет оценить приведенную стоимость денежного потока; наиболее наглядная ситуация в этом случае — оценка текущей стоимости ценной бумаги, владение которой дает возможность в будущем получать некоторые платежи.

Приведенная стоимость единичного платежа или денежного потока является ключевым показателем при принятии многих решений финансового характера, например, при оценке финансовых активов и оценке инвестиционных проектов.

Пример 12.

Рассчитать приведенную стоимость денежного потока постнумерандо (тыс.руб.): 12, 15, 9, 25, если ставка дисконтирования r= 12%.

год	Денежный поток, тыс.руб.	Ставка	Дисконтирующий множитель	Приведенный поток, тыс.руб.
1	12	0,12	0,893	10,714
2	15	0,12	0,797	11,958
3	9	0,12	0,712	6,406
4	25	0,12	0,636	15,888
Итого	61			44,966

То есть приведенная стоимость денежного потока составит 44,966 тыс.руб. при ставке 12% годовых.

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока. Известны два подхода к его определению. Согласно первому подходу аннуитет - однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы. Второй подход накладывает дополнительное ограничение, а именно, элементы денежного потока одинаковы по величине.

Ускоренные методы оценки денежных потоков основаны на применении мультиплицирующих и дисконтирующих множителей, которые табулированы в специальных финансовых таблицах. Таблицы инвариантны по отношению к виду потока – постнумерандо или пренумерандо; оценки для потока пренумерандо отличаются от соответствующих оценок для потока постнумерандо на величину множителя (1+г), где r - ставка в долях единицы.

Будущая стоимость срочного аннуитета постнумерандо (однократные поступление платежа и начисление процентов в базисном периоде)

Будущая стоимость срочного аннуитета пренумерандо (однократные поступление платежа и начисление процентов в базисном периоде)

Пример 13.

Вам предлагают сдать в аренду участок на три года, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды : 1) 10 тыс.руб. в конце каждого года; 2) 35 тыс.руб. в конце трехлетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?

1) вариант. Представляет собой аннуитет постнумерандо при п=3 и А=10 тыс.руб. В этом случае имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестирования полученных сумм под 20% годовых в банк. К концу трехлетнего периода накопленная сумма может быть рассчитана:

2) вариант – 35 тыс.руб.

Таким образом, выгоднее вариант 1.

Пример 14.

Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 10 тыс.руб. Банк платит 20% годовых. Какая сумма будет на счете по истечении трех лет?

Этот денежный поток – аннуитет пренумерандо, будущая стоимость которого:

Пример 15.

Вам предложено инвестировать 100 тыс.руб. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 тыс.руб.). По истечении пяти лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 тыс.руб. Принимать ли это предложение, если можно «безопасно» депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?

Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две суммы.

1) При депонировании денег в банк к концу пятилетнего периода на счете будет сумма:

2) Предположим, что ежегодные поступления 20 тыс. руб. можно будет немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы (депонировать в банк). Денежный поток можно представить как срочный аннуитет постнумерандо с А = 20 тыс.руб., n = 5 лет, r = 12% и единовременное получение суммы в 30 тыс.руб.:

Следовательно, выгоднее первый вариант.

Дисконтированная стоимость срочного аннуитета постнумерандо (однократные поступление платежа и начисление процентов в базисном периоде)

Дисконтированная стоимость срочного аннуитета пренумерандо (однократные поступление платежа и начисление процентов в базисном периоде)

Метод депозитной книжки подразумевает, что сумма, положенная на депозит, приносит доход в виде процентов; при снятии с депозита некоторой суммы базовая величина, с которой начисляются проценты, уменьшаются.

Текущая стоимость аннуитета – это величина депозита с общей суммой процентов, ежегодно уменьшающаяся на равные суммы. Сумма годового платежа включает в себя начисленные за очередной период проценты, и некоторую часть основной суммы долга. Структура годового платежа постоянно меняется — в начальные периоды в нем преоб-ладают начисленные за очередной период проценты; с течением времени доля процентных платежей постоянно уменьшается и повышается доля погашаемой части основного долга.

Пример 16: В банке получена ссуда на 5 лет в сумме 20 тыс. руб. под 13% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Требуется определить величину годового платежа (А).

А = 5687 руб.

Метод депозитной книжки

Год	Остаток ссуды на начало года	Сумма годового платежа	В том числе		Остаток ссуды на конец года
			Проценты за год	Погашенная часть долга
1	200000	5687	2600	3087	16913
2	16913	5687	2199	3488	13425
3	13425	5687	1745	3942	9483
4	9483	5687	1233	4454	5029
5	5029	5687	658	5029	0

Пример 17:

Вы заняли на 5 лет 200000 руб. под 16%, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Определите, какая часть основной суммы кредита будет погашена за первые три года.

Решение.

Сумма годового платежа

Сумма выплат за 3 года = 61087*3=183262 руб.

% за первый год = 200000*0,16 = 32000 руб.

Выплаты основного долга за первый год = 61087 – 32000 = 29087 руб.

долг на 2-й год = 200000 – (61087 – 32000) = 170912 руб.

% за второй год = 170912*0,16=27346 руб.

и т.д.

Метод депозитной книжки		FM4(16%,5)	3,274
Год	Остаток ссуды на начало года	Сумма годового платежа	%	В том числе		Остаток ссуды на конец года
			ставка	Проценты за год	Погашенная часть долга
1	200000	61087,35	0,16	32000	29087,35	170912,65
2	170912,65	61087,35	0,16	27346,02	33741,33	137171,31
3	137171,31	61087,35	0,16	21947,41	39139,94	98031,37
4	98031,37	61087,35	0,16	15685,02	45402,34	52629,03
5	52629,03	61087,35	0,16	8420,65	52666,71	-37,68
		305436,77
Выплаченная основная сумма долга за 3 года					101968,63

-Будущая стоимость j-срочного аннуитета постнумерандо при несовпадающих моментах поступления платежа и начисления процентов (m>j)

Будущая стоимость срочного аннуитета пренумерандо при несовпадающих моментах поступления платежа и начисления процентов (m>j)

где А — суммарный годовой платеж;

J — количество равных поступлений средств в году;

m — количество начислений в году;

k — количество лет;

r — годовая ставка.

Пример 18:

Делается ежеквартальный взнос в банк в размере 200 тыс. руб. по схеме пренумерандо. Банк начисляет 12% годовых: а) раз в квартал; б) раз в месяц. Какая сумма будет на счете через 3 года?

Решение.

а) поквартальное начисление

б) начисление раз в месяц

Будущая стоимость срочного аннуитета пренумерандо при несовпадающих моментах поступления платежа и начисления процентов (m>j)