Тема 4: Показатели вариации
Термин “вариация” происходит от латинского слова variation – изменение, колеблемость, различие.
Вариация – это различие между индивидуальными явлениями.
Степень близости индивидуальных значений признака (вариант) к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных статистических показателей. К ним относятся
Абсолютные показатели:
размах вариации: R=Хmax-Xmin
Средние показатели:
среднее линейное отклонение,
для несгруппированных данных:
для сгруппированных данных:
дисперсия – средний квадрат отклонения от их средней величины
для несгруппированных данных: Д=
для сгруппированных данных: Д=
Если совокупность разбита на группы по какому-либо признаку, то можно определить дисперсию общую, гмежгрупповую (факторную) и внутригрупповую (случайную).
среднее квадратическое отклонение – корень из дисперсии:
Относительные показатели:
относительный размах вариации: VR =
относительное линейное отклонение: VL =
коэффициент вариации: V=
При этом совокупность считается однородной, если V не превышает 33%/
К показателям формы распределения относятся асимметрия и эксцесс.
Симметричным называется распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой.
Если распределение симметричное, то =Мо=Ме
Коэффициент
асимметрии Пирсона:
Если Ка=0- ряд распределения симметричен, Ка>0-скошенность ряда правосторонняя, Ка<0-скошенность ряда левосторонняя.
Эксцесс
– характеристика островершинности и
крутизны распределения.
Эксцесс
распределения:
где А4- нормированный момент четвертого порядка:
где
М4-
центральный момент четвертого порядка:
по несгрупированным данным: М4=
по
сгрупированным данным: М4=
Если Е = 0 – распределение нормальное, если Е > 0 - островершинное, Е <0 – плосковершинное.
Студент должен
знать:
Сущность вариации;
показатели вариации и способы их расчета;
виды дисперсий и правило сложения дисперсий
уметь:
Правильно рассчитывать показатели вариации;
Интерпретировать полученные данные
Задание 4.1
По данным о числе родившихся в РФ (табл.2.1. задание 2.2) определите средний уровень рождаемости за представленные годы и показатели вариации. Для расчетов используйте таблицу:
Таблица 4.1
Расчет показателей вариации рождаемости
Годы |
Численность родившихся в расчете на 1000 населения, чел. (Хi ) |
Расчет отклонений |
|
|Хi- |
(Хi-2 |
||
2004 |
10,4 |
|
|
2005 |
10,2 |
|
|
2006 |
10,4 |
|
|
2007 |
11,3 |
|
|
2008 |
12,1 |
|
|
2009 |
12,4 |
|
|
2010 |
12,5 |
|
|
Итого |
|
|
|
В среднем |
|
|
|
Задание 4.2.
Определите по сгруппированным данным:
Средний возраст студентов
абсолютные, средние и относительные показатели вариации возраста студентов
Таблица 4.2
Распределение студентов по возрасту
Исходные данные |
Расчетные показатели |
||||
Группы студентов по возрасту, лет Xi |
Число студентов fi |
Xi fi |
Xi- |
|Xi-| fi |
(Xi-)2 fi |
|
fi |
|
|
|
|
17 18 19 20 21 22 23 Итого |
10 70 80 100 120 160 90 630 |
|
|
|
|
Определите:
Средний возраст студентов
абсолютные, средние и относительные показатели вариации возраста студентов
Задание 4.2
Охарактеризуйте ряд распределения. Определите дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации
Таблица 4.2
Распределение работников отрасли по уровню заработной платы
-
Заработная плата одного работника за месяц, тыс.руб.
До 15
15-20
20-30
30 и больше
Всего
Количество работников к итогу, %
10
40
30
20
100
Задание 4.3
Сравните вариацию производительности труда в цехах, сделайте выводы.
Таблица 4.3
-
Цех
Средняя часовая производительность труда в цехе, м2
Среднее отклонение часовой производительности каждого работника от среднецеховой производительности, м2
1
2
3
3
10
7
0,36
0,8
2,45
Задание 4.4
Дисперсия признака равна 10, средний квадрат его индивидуальных значений – 140. Чему равна средняя?
Задание 4.5
Средняя величина признака в совокупности равна 20, а средний квадрат отклонений индивидуальных значений этого признака от средней величины – 400. Определите коэффициент вариации.
Задание 4.6
Средняя величина в совокупности равна 16, среднее квадратическое отклонение – 8. Определите средний квадрат индивидуальных значений этого признака.
Задание 4.7
Имеются данные о производительности в двух группах, сформированных по величине стажа работы:
Таблица 4.4
Производительность ткачей в двух бригадах
Табельный номер |
Изготовлено ткани за 1 час, м.( Хi) |
(Хi-гр)2 |
(Хi-)2 |
|
1 группа (стаж от 1 до 3 лет): |
|
|||
1 |
13 |
|
|
|
2 |
14 |
|
|
|
3 |
15 |
|
|
|
4 |
17 |
|
|
|
5 |
16 |
|
|
|
6 |
15 |
|
|
|
Итого 1 гр. (бригаде) |
|
|
|
|
В среднем по 1 гр () |
|
х |
х |
|
2 группа (стаж свыше 3 лет): |
|
|||
7 |
19 |
|
|
|
8 |
22 |
|
|
|
9 |
20 |
|
|
|
10 |
24 |
|
|
|
11 |
23 |
|
|
|
Итого 2 гр. (бригаде) |
|
|
|
|
В среднем по 2 гр () |
|
х |
х |
|
Всего |
|
|
|
|
В среднем () |
|
х |
х |
|
Вычислить:
групповые дисперсии и среднюю из групповых дисперсий (внутригрупповую);
межгрупповую дисперсию;
общую дисперсию.
Проверить правило сложения дисперсий.
Определить коэффициент вариации в двух бригадах.
Задание 4.8
Имеются данные о товарообороте магазинов
Таблица 4.5
Распределение магазинов по размеру товарооборота
Группы магазинов по размеру товарооборота, тыс.руб. |
Число магазинов fi |
Середина интервала Xi |
Xifi |
Xi- |
(Xi-)2fi |
(Xi-)4fi |
50-60 60-70 70-80 80-90 |
7 15 6 4 |
|
|
|
|
|
Итого |
32 |
х |
|
|
|
|
Исходя их данных о распределении магазинов по размеру товарооборота определите следующие показатели и сделайте выводы:
средний размер товарооборота по магазинам
Дисперсию (центральный момент второго порядка)
Среднее квадратическое отклонение;
Моду
Коэффициент асимметрии Пирсона
Центральный момент четвертого порядка
Нормированный момент четвертого порядка
Эксцесс распределения