Понятие градиента и его арифметические свойства

Вектор называется градиентом функции в точке и обозначается обычно одним из символов или .1°. ;2°. ;

(здесь и ниже и дифференцируемые в рассматриваемой точке функции);3°. ;

4°. (Здесь предполагается, что g ¹ 0 в соответствующей точке).

Арифметические св-ва дифференцируемых функций. Теорема 1. Если функции дифференцируемы в точке , то для любых функция также дифференцируемо в этой точке и .

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу дифференцируемости отображений , для любых имеем:

т.е. при ). Таким образом, отображение дифференцируемо в точке и □

Теорема 2. Если функции дифференцируемы в точке , то функция также дифференцируема в этой точке и

.

Если, кроме того, , то дифференцируема в точке Х и функция , при этом □

Теорема о дифференцировании сложной функции. Цепное правило вычисления частных производных сложной функции. Теорема 3 (о дифференцировании сложной функции ). Пусть функции , ( ), дифференцируемы в точке , а функция , , такова, что и дифференцируема в точке . Тогда сложная функция , , ,дифференцируема в точке и

Замечание 1. Правило вычисления частных производных сложной функции (1) называют цепным правилом дифференцирования сложной функции. Если функции , , функцию и функцию обозначают следующим образом

;

;то формулу (1), опуская аргументы частных производных, записывают, соответственно так:

.

Понятие касательной плоскости к графику функции двух переменных и критерий ее дифференцируемости. Рассмотрим функцию двух переменных и покажем, что ее дифференцируемость в точке равносильна тому, что в точке где , ее график имеет касательную плоскость.

Говоря далее о поверхности в пространстве будем предполагать, что в окрестности каждой своей точки она представляет собой график некоторой непрерывной функции двух переменных.

Определение 1. Пусть имеется некоторая поверхность . Плоскость , проходящая через точку называется касательной плоскостью к поверхности в точке M₀, если расстояние от переменной точки поверхности до этой плоскости – величина бесконечно малая высшего порядка малости при , по сравнению с расстоянием от точки до точки , т.е. если где – основание перпендикуляра опущенного на плоскость из точки . Теорема 1. Для того, чтобы функция , определенная в некоторой окрестности точки и непрерывная в самой этой точке была дифференцируемой в ней, необходимо и достаточно, чтобы график функции в точке имел непараллельную оси касательную плоскость, при этом соответствующая плоскость описывается уравнением:

(здесь - координаты точек касательной плоскости).

Понятия частных производных 2-го и более высоких порядков Пусть функция ( ) определена в некоторой окрестности точки , и имеет частную производную по -ой переменной. Таким образом, в окрестности точки определена функция переменных

.Если эта функция имеет в точке частную производную по переменной , то она называется второй частной производной (или также частной производной 2-го порядка) функции в точке по переменным и , при этом если , то она, соответственно, называется второй частной производной функции по переменной . Частные производные 2-го порядка по разным переменным называются смешанными частными производными. Частная производная 2-го порядка функции по переменным и обычно обозначается одним из следующих символов

, или ,

а если , то. соответственно, – одним из символов:

, или

Точка, в которой берется та или иная вторая частная производная, часто не указывается.

Таким образом, кратко, определение второй частной производной можно ввести следующим образом:

или .Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Общее определение частной производной -го порядка вводится индуктивно. А именно, если уже определена частная производная порядка функции по переменным и эта производная существует в некоторой окрестности точки , то частная производная порядка этой функции по переменным в точке определяется по правилу:

Теорема о смешанных частных производных. Теорема 1. (теорема о смешанных частных производных) Если частные производные и функции переменных существуют в некоторой окрестности точки и непрерывны в самой этой точке, то

.

Понятития раз дифференцируемой функциии и раз непрерывно дифференцируемой функциии. Определение 2. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой окрестности всевозможные частные производные -го порядка . Тогда если все эти частные производные дифференцируемы в точке , то функция называется раз дифференцируемой функцией в этой точке.

Замечание 5. Нетрудно показать, что всякая раз дифференцируемая в точке функция является также и раз дифференцируемой в этой точке. Определение 3. Если функция имеет в окрестности точки всевозможные частные производные порядка и все они непрерывны в этой точке, то говорят что функция раз непрерывно дифференцируема в точке .

Замечание 6. Осчевидно, что всякая раз непрерывно дифференцируемая в точке функция является раз дифференцируемой в этой точке.Если функция раз непрерывно дифференцируема в каждой точке множества , то говорят, что она раз непрерывно дифференцируема на множестве и пишут . Если , то легко убедиться, что функция раз дифференцируема на множестве , т.е. раз дифференцируема в каждой точке этого множества.

Вторая теорема о смешанных частных производных Пусть функция дважды дифференцируема в точке . Тогда

, ,т.е.всевозможные смешанные частные производные 2-го порядка не зависят от выбора последовательности дифференцирования.

С учетом замечания 3(если функция имеет в некоторой окрестности точки всевозможные частные производные 2-го порядка и каждая из них непрерывна в точке , то функция дважды дифференцируема в этой точке) получим такое Следствие 1. Если функция имеет в некоторой окрестности точки всевозможные частные производные 2-го порядка и каждая из них непрерывна в точке , то имеют место равенства (1), т.е. всевозможные смешанные частные производные 2-го порядка не зависят от выбора последовательности дифференцирования.