- •Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
- •Основные свойства определенного интеграла Римана: интегрируемость сужения, аддитивное свойство, линейные свойства, интегрируемость произведения.
- •Число e как сумма ряда.
- •Понятие знакочередующегося ряда. Признак Лейбница. Исследование ряда
- •Понятия абсолютно и условно сходящегося числового ряда. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
- •Основные теоремы о степенных рядах (о непрерывности суммы степенного ряда, о почленном дифференцировании и почленном интегрировании степенного ряда)
- •Разложение функций в степенные ряды (определение).
- •Определения несобственных интегралов 1-го рода (с различными видами особенностей), сходящиеся и расходящиеся несобственные интегралы 1-го рода.
- •Определения несобственных интегралов 2-го рода (с различными видами особенностей), сходящиеся и расходящиеся несобственные интегралы 2-го рода.
- •Теорема о замене переменной и формула интегрирования по частям для несобственных интегралов.
- •Критерий сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции.
- •Интегральный признак сходимости числового ряда.
- •Скалярное произведение и евклидова норма в (определения). Неравенство Коши-Буняковского.
- •53. Координатные последовательности последовательности точек в . Критерий сходимости последовательности в в терминах координатных последовательностей.
- •58. Понятие функции нескольких переменных
- •Понятие градиента и его арифметические свойства
- •4°. (Здесь предполагается, что g ¹ 0 в соответствующей точке).
- •Определение дифференциалов высших порядков. Иллюстрация определения на примере дифференциалов 1-го и 2-го порядков.
- •79. Формула Тейлора для функции нескольких переменных (включая формулировку теоремы о разложимости функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)
- •2) Если же второй дифференциал функции в точке является знакопеременной квадратичной формой, то точка не является точкой локального экстремума функции .
Понятие градиента и его арифметические свойства
Вектор называется градиентом функции в точке и обозначается обычно одним из символов или .1°. ;2°. ;
(здесь и ниже и дифференцируемые в рассматриваемой точке функции);3°. ;
4°. (Здесь предполагается, что g ¹ 0 в соответствующей точке).
Арифметические св-ва дифференцируемых функций. Теорема 1. Если функции дифференцируемы в точке , то для любых функция также дифференцируемо в этой точке и .
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу дифференцируемости отображений , для любых имеем:
т.е. при ). Таким образом, отображение дифференцируемо в точке и □
Теорема 2. Если функции дифференцируемы в точке , то функция также дифференцируема в этой точке и
.
Если, кроме того, , то дифференцируема в точке Х и функция , при этом □
Теорема о дифференцировании сложной функции. Цепное правило вычисления частных производных сложной функции. Теорема 3 (о дифференцировании сложной функции ). Пусть функции , ( ), дифференцируемы в точке , а функция , , такова, что и дифференцируема в точке . Тогда сложная функция , , ,дифференцируема в точке и
Замечание 1. Правило вычисления частных производных сложной функции (1) называют цепным правилом дифференцирования сложной функции. Если функции , , функцию и функцию обозначают следующим образом
;
;то формулу (1), опуская аргументы частных производных, записывают, соответственно так:
.
Понятие касательной плоскости к графику функции двух переменных и критерий ее дифференцируемости. Рассмотрим функцию двух переменных и покажем, что ее дифференцируемость в точке равносильна тому, что в точке где , ее график имеет касательную плоскость.
Говоря далее о поверхности в пространстве будем предполагать, что в окрестности каждой своей точки она представляет собой график некоторой непрерывной функции двух переменных.
Определение 1. Пусть имеется некоторая поверхность . Плоскость , проходящая через точку называется касательной плоскостью к поверхности в точке M0, если расстояние от переменной точки поверхности до этой плоскости – величина бесконечно малая высшего порядка малости при , по сравнению с расстоянием от точки до точки , т.е. если где – основание перпендикуляра опущенного на плоскость из точки . Теорема 1. Для того, чтобы функция , определенная в некоторой окрестности точки и непрерывная в самой этой точке была дифференцируемой в ней, необходимо и достаточно, чтобы график функции в точке имел непараллельную оси касательную плоскость, при этом соответствующая плоскость описывается уравнением:
(здесь - координаты точек касательной плоскости).
Понятия частных производных 2-го и более высоких порядков Пусть функция ( ) определена в некоторой окрестности точки , и имеет частную производную по -ой переменной. Таким образом, в окрестности точки определена функция переменных
.Если эта функция имеет в точке частную производную по переменной , то она называется второй частной производной (или также частной производной 2-го порядка) функции в точке по переменным и , при этом если , то она, соответственно, называется второй частной производной функции по переменной . Частные производные 2-го порядка по разным переменным называются смешанными частными производными. Частная производная 2-го порядка функции по переменным и обычно обозначается одним из следующих символов
, или ,
а если , то. соответственно, – одним из символов:
, или
Точка, в которой берется та или иная вторая частная производная, часто не указывается.
Таким образом, кратко, определение второй частной производной можно ввести следующим образом:
или .Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Общее определение частной производной -го порядка вводится индуктивно. А именно, если уже определена частная производная порядка функции по переменным и эта производная существует в некоторой окрестности точки , то частная производная порядка этой функции по переменным в точке определяется по правилу:
Теорема о смешанных частных производных. Теорема 1. (теорема о смешанных частных производных) Если частные производные и функции переменных существуют в некоторой окрестности точки и непрерывны в самой этой точке, то
.
Понятития раз дифференцируемой функциии и раз непрерывно дифференцируемой функциии. Определение 2. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой окрестности всевозможные частные производные -го порядка . Тогда если все эти частные производные дифференцируемы в точке , то функция называется раз дифференцируемой функцией в этой точке.
Замечание 5. Нетрудно показать, что всякая раз дифференцируемая в точке функция является также и раз дифференцируемой в этой точке. Определение 3. Если функция имеет в окрестности точки всевозможные частные производные порядка и все они непрерывны в этой точке, то говорят что функция раз непрерывно дифференцируема в точке .
Замечание 6. Осчевидно, что всякая раз непрерывно дифференцируемая в точке функция является раз дифференцируемой в этой точке.Если функция раз непрерывно дифференцируема в каждой точке множества , то говорят, что она раз непрерывно дифференцируема на множестве и пишут . Если , то легко убедиться, что функция раз дифференцируема на множестве , т.е. раз дифференцируема в каждой точке этого множества.
Вторая теорема о смешанных частных производных Пусть функция дважды дифференцируема в точке . Тогда
, ,т.е.всевозможные смешанные частные производные 2-го порядка не зависят от выбора последовательности дифференцирования.
С учетом замечания 3(если функция имеет в некоторой окрестности точки всевозможные частные производные 2-го порядка и каждая из них непрерывна в точке , то функция дважды дифференцируема в этой точке) получим такое Следствие 1. Если функция имеет в некоторой окрестности точки всевозможные частные производные 2-го порядка и каждая из них непрерывна в точке , то имеют место равенства (1), т.е. всевозможные смешанные частные производные 2-го порядка не зависят от выбора последовательности дифференцирования.