2) Если же второй дифференциал функции в точке является знакопеременной квадратичной формой, то точка не является точкой локального экстремума функции .

Понятие о задаче на условный экстремум. Прямой метод решения задачи на условный экстремум. Пусть на множестве заданы функции , , а также функция . Задача об отыскании экстремума (максимума или минимума) функции на множестве ,т.е. на множестве всех решений системы уравнений, называется задачей на условный или относительный экстремум. Уравнения системы (1) часто называют уравнениями связи или просто связями. В связи с этим соответствующую задачу на условный экстремум называют задачей на экстремум функции при наличии связей (1). Определение 1. Точка называется точкой условного или относительного экстремума (максимума или минимума) функции при наличии связей (1), если она является точкой локального экстремума (соотв., максимума или минимума) этой функции на множестве . Один из общих методов отыскания точек условного экстремума, далее называемый прямым методом, обобщает метод, использованный в приведенном выше примере. Опишем этот метод. Будем предполагать далее, что множество – открыто, а функции и непрерывно дифференцируемы на нем. Кроме того, будем предполагать, что в рассматриваемой точке градиенты функций линейно независимы. Если из этих градиентов как из строк составить матрицу

,называемую матрицей Якоби системы функций в точке , то ранг этой матрицы будет равен (т.к. ее строки линейно независимы). Как известно из курса алгебры ранг матрицы, в то же время, равен наивысшему порядков тех ее миноров, которые отличны от нуля. Так как ранг матрицы Якоби равен , то без ущерба для общности можно считать, что минор порядка , расположенный в первых ее столбцах отличен от нуля:

будет определена и непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Наконец, оказывается, что точка является точкой условного экстремума функции при наличии связей (1) тогда и только тогда, когда точка является точкой локального экстремума функции .

Замечание 1. Можно сказать, таким образом, что в точке условного экстремума функции ее градиент является линейной комбинацией градиентов функций , определяющих уравнения связи.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Установленные ранее необходимые условия относительного экстремума (4) и (6) означают, что каждый из последних столбцов матрицы

является линейной комбинацией первых ее столбцов, которые по условию линейно независимы. Следовательно, ранг этой матрицы равен . Поэтому первая ее строка является линейной комбинацией остальных строк □

При исследовании задачи на условный экстремум обычно вводят вспомогательную функцию

от переменных . Ее называют функцией Лагранжа, числа – множителями Лагранжа, а метод отыскания точек условного экстремума, в котором используется эта функция называется методом множителей Лагранжа. Для его описания заметим, что из определения функции Лагранжа следует, что если положить и , то векторное равенство (7) равносильно следующей системе скалярных равенств

а равенства которые необходимо должны выполняться, если – точка условного экстремума функции при наличии связей (1), могут быть записаны в виде:

Таким образом, из теоремы 1 вытекает такое Следствие. Пусть функции и ( ) непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки и в этой точке ранг матрицы Якоби системы функций равен . Тогда если – точка условного экстремума функции при наличии связей (1), то найдутся такие вещественные числа , что точка является стационарной точкой функции Лагранжа (8), т.е. удовлетворяет условиям (9) и (10). Достаточные условия относительного экстремума: Пусть функции дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки , и точка вместе с некоторым вектором удовлетворяет системе уравнений

Тогда если квадратичная форма - положительно определенная (отрицательно определенная) на подпространстве решений системы линейных уравнений , то функция имеет в точке строгий условный локальный минимум (соотв., максимум) при наличии связей (1), если же на этом подпространстве она знакопеременная, то функция в точке не имеет условного экстремума.

Мера Жордана в пространстве . Определение 1. Точка называется граничной точкой множества если в любой ее окрестности имеются как точки, принадлежащие этому множеству, так и точки ему не принадлежащие. Множество всех граничных точек множества называется границей этого множества и обозначается символом .Определение 2. Множество называют (замкнутым) -мерным брусом или, короче, брусом в .

Ясно, что двумерный брус представляет собой прямоугольник на плоскости. Трехмерный брус называют параллелепипедом. Иногда вместо термина n-мерный брус используется термин n-мерный прямоугольник или n-мерный параллелепипед.

По определению объемом -мерного бруса называется вещественное число

Определение 3. Множество в пространстве называется элементарным, если оно представляет собой объединение конечного числа брусов в , любые два из которых пересекаются разве лишь по своим границам.Хотя одно и то же элементарное множество разными способами можно представить в виде объединения конечного числа -мерных брусов, попарно пересекающихся разве лишь по своим границам, сумма объемов этих брусов будет одной и той же и ее естественно назвать объемом элементарного множества . Таким образом, если – элементарное множество и

,где ( ) – брусы, которые попарно пересекаются разве лишь по своим границам, то -мерным его объемом называется вещественное число , которое находится по формуле .Класс всех элементарных множеств, пространства , обозначим . Для произвольного ограниченного множества числа и называют, соответственно, внешней и внутренней мерой Жордана множества ( в первой из этих формул точная нижняя грань берется по всем элементарным множествам содержащих множество , а во второй из этих формул точная верхняя грани берется по всем элементарным множествам которые содержатся во множестве ).Определение 4. Пусть – ограниченное множество. Множество называется измеримым по Жордану, если его внешняя и внутренняя меры равны между собой, при этом число называется мерой Жордана множества или, также, -мерным объемом этого множества.

Свойства меры Жордана 1 (Свойство неотрицательности). Мера Жордана любого измеримого по Жордану множества неотрицательна.

2 (Свойство полноты) Всякое подмножество множества жордановой меры нуль измеримо по Жордану и имеет жорданову меру нуль.

3 (Измеримость пустого множества) Пустое множество измеримо по Жордану и имеет жорданову меру нуль.

4 (Критерий измеримости). Для того, чтобы ограниченное множество было измеримо по Жордану, необходимо и достаточно, чтобы граница этого множества имела Жорданову меру нуль

5. (Измеримость графика непрерывной на компакте функции) График всякой непрерывной на компакте функции имеет Жорданову меру нуль (в пространстве )

6. (Замкнутость класса измеримых множеств относительно основных операций). Множество всех измеримых по Жордану множеств замкнуто относительно операций объединения, разности и пересечения, т.е. если множества и измеримы по Жордану, то их объединение , разность и пересечение измеримы по Жордану.

7. (Мера объединения конечного числа множеств меры нуль) Объединение любого конечного числа множеств жордановой меры нуль измеримо по Жордану и имеет жорданову меру нуль.

8. (Обобщенное свойство аддитивности). Пусть множества и измеримы по Жордану. Тогда если их пересечение имеет жорданову меру нуль, то

9. (Свойство аддитивности). Если множества и – измеримы по Жордану и их пересечение пусто, то справедливо равенство (1).

10. (Свойство монотонности). Если множества и измеримы по Жордану и , то .

Понятие кратного интеграла Определение 1. Совокупность множеств , , называется разбиением измеримого по Жордану множества , если

1) каждое из множеств , , измеримо по Жордану;

2) множества , , попарно пересекаются разве лишь по своим границам;

3) ■

Диаметром ограниченного множества называется число (здесь –евклидово расстояние в ). Соответственно, рангом разбиения измеримого по Жордану множества называется число Пусть теперь на измеримом по Жордану множестве задана функция . Выберем какое-нибудь разбиение множества . Для любого положим , (в предположении ограниченности функции эти числа конечны) и рассмотрим две суммы и .

Первая из них называется нижней суммой Дарбу функции соответствующей разбиению множества , а вторая, соответственно, – верхней суммой Дарбу этой функции, соответствующей тому же разбиению.

Свойства кратных интегралов

Отметим некоторые свойства сумм Дарбу. Условимся говорить, что разбиение множества мельче разбиения того же множества (или, что первое из этих разбиений является измельчением второго), если каждое из множеств разбиения является объединением некоторых из множеств разбиения .

Свойство 1. При измельчении разбиения нижние суммы Дарбу не убывают, а верхние суммы Дарбу не возрастают, т.е. если разбиение мельче разбиения , то , а .

Свойство 2. Любая нижняя сумма Дарбу не превосходит любой верхней суммы Дарбу, т.е. для любых двух разбиений и множества имеет место неравенство .

интегрируемые по Риману функции переменных обладают следующими свойствами:

1*. Если , то и

2*. Если и , то , при этом .

Замечание 1. Предыдущие два свойства называются л и н е й н ы м и свойствами двойного интеграла.

3*. Если , , и , то .В частности, если и , то .4*. Если и , то 5*. Если , то , при этом

6* (Теорема о среднем). Пусть и причем , . Тогда существует такое , что

7*. (Аддитивное свойство). Если , и (в частности, ), то и

8*. Если функции и определены на множестве и отличаются на нем лишь на множестве , имеющем жорданову меру нуль, то из интегрируемости по Риману одной из них на множестве следует интегрируемость по Риману и другой, причем

Сведение двойного интеграла к повторному: случай пря моугольника

Пусть функция двух переменных и ( ) определена на прямоугольнике и для каждого фиксированного функция одной переменной интегрируема по Риману на отрезке , и, следовательно, для каждого фиксированного существует обычный определенный интеграл Римана

.Тогда если функция одной переменной интегрируема по Риману на отрезке , то интеграл называется повторным интегралом от функции на прямоугольнике и обычно обозначается

Поменяв ролями и в предыдущем определении получим определение повторного интеграла другого типа.

Замечание 1. Если в формулировке теоремы 1 и поменять ролями, т.е. наряду с условием предположить существование интеграла при любом , то вместо формулы (1) получим следующую формулу

Предположения теоремы 1 и ее аналога, упомянутого в замечании 1 заведомо выполняются, если функция непрерывна на прямоугольнике . Поэтому справедлива следующая Теорема 2. Пусть функция непрерывна на прямоугольнике . Тогда оба повторных интеграла и существуют и равны двойному интегралу

Сведение двойного интеграла к повторному: случай элементарной области.

Пусть функции ( ) и ( ) определены и непрерывны на отрезке и

Далее, пусть функция определена на криволинейной трапеции ее называют областью элементарной относительно оси - и при любом существует определенный интеграл .Тогда если определенная этим равенством функция одной переменной интегрируема по Риману на отрезке , то интеграл называется повторным интегралом от функции по указанной выше криволинейной трапеции . Этот повторный интеграл часто обозначается так Аналогично на криволинейной трапеции (здесь функции и непрерывны на отрезке и ),называемой также областью элементарной относительно оси , определяется повторный интеграл в котором по сравнению с предыдущим повторным интегралом переменные и меняются ролями.Отметим, что непрерывность функций и гарантирует измеримость области , а непрерывность функций и - измеримость .Теорема 3. Пусть функция интегрируема по Риману на криволинейной трапеции и при любом существует определенный интеграл

.Тогда существует и повторный интеграл , при этом имеет место равенство

Следствие. Если функция непрерывна на множестве то справедлива формула (4), при этом оба интеграла в ней (двойной и повторный) заведомо существуют. Замечание 2. Если в формулировке теоремы 2 и поменять ролями и наряду с условием , где ,предположить существование интеграла при любом , то вместо формулы (4) получим еще одну формулу сведения двойного интеграла к повторному:

Как и выше эта формула заведомо справедлива, если функция непрерывна на множестве .

Сведение тройного и общего кратного интеграла к повторному.

Пусть - замкнутое, измеримое по Жордану множество и функции и непрерывны на нем, причем . Множество

называется элементарным относительно оси или также областью элементарной относительно этой оси.

Теорема 4. Если функция непрерывна в области элементарной относительно оси , то

Аналогично вводятся понятия области трехмерного пространства, элементарной относительно оси и области, элементарной относительно оси . Для таких областей справедливы теоремы аналогичные теореме 3.Ясно теперь как обобщается эта теорема на общий n-мерный случай.Пусть - замкнутое, измеримое по Жордану множество, а и непрерывные на нем функции. Тогда (измеримое по Жордану!) множество

называется элементарной относительно оси областью. Теорема 5. Если - элементарная относительно оси область, а функция - непрерывная в ней функция, то

Теорема о замене переменных в кратном интеграле.

Теорема 1. Пусть функция f (двух переменных) интегрируема по Риману на измеримой по Жордану области , которая является образом измеримой по Жордану области при отображении

(G – область),

обладающим следующими свойствами:

Отображение взаимно-однозначно отображает на .

2. Координатные функции отображения непрерывны на замыкании области и имеют непрерывные на частные производные первого порядка по всем переменным.

Несобственные кратные интегралы

Последовательность , открытых множеств , , называется исчерпывающей множество , если она обладает следующими свойствами:

1^о. Каждое из множеств , , измеримо по Жордану;

2^о. , ( – замыкание множества );3^о. .

Пусть функци ( ) определена на множестве и интегрируема на любом замкнутом, измеримом по Жордану подмножестве множества .

Определение 1. Если для любой исчерпывающей множество последовательности множеств существует конечный предел

и этот предел не зависит от выбора исчерпывающей последовательности, то его называют несобственным двойным интегралом функции на множестве и обозначают тем же символом, что и обычный («собственный») двойной интеграл

Если условия этого определения выполнены то говорят, что интеграл (2) сходится. В противном случае говорят, что этот интеграл расходится.

Теорема 1. Для сходимости несобственного двойного интеграла (2) от неотрицательной на множестве функции необходимо и достаточно, чтобы хотя бы для одной исчерпывающей множество последовательности , была ограничена числовая последовательность

Следствием теоремы 1 является следующая Теорема 2 (признак сравнения). Пусть функции и интегрируемы по Риману на любом замкнутом измеримом по Жордану подмножестве открытого множества и на множестве . Тогда если несобственный интеграл

сходится, то сходится и несобственный интеграл

Если же интеграл (5) расходится, то расходится и интеграл (4).Коснемся, кратко, абсолютной сходимости, несобственных двойных интегралов. Пусть функция , , интегрируема по Риману на любом замкнутом, измеримом по Жордану подмножестве открытого множества .

Определение 2. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл Теорема 3. Несобственный интеграл сходится тогда и только тогда, когда он сходится абсолютно.

Интеграл Пуассона.

Вычислим интеграл где . В качестве исчерпывающей это множество последовательности выберем следующую последовательность открытых кругов Переходя к полярным координатам, и сводя затем двойной интеграл к повторному, получим

Отсюда, с учетом теоремы 1 следует, что

Выберем теперь в качестве исчерпывающей плоскость последовательности последовательность квадратов

.

Тогда Переходя здесь к пределу при и используя равенство (7) получим Таким образом, Этот интеграл называется интегралом Пуассона и широко используется в теории вероятностей