12. Уравнение прямой на плоскости и в пространстве.

Уравнение прямой в пространстве имеет вид: и содержит 6 параметров: (x₀, y₀, z₀) – координаты некоторой фиксированной (т.н. базисной) точки на прямой, а (m, n, p)′ - координаты некоторого вектора, параллельного прямой, его называют направляющим вектором прямой.

Прямую на плоскости можно рассмотреть с двух точек зрения. Ее можно рассмотреть как прямую в двумерном пространстве. Тогда это будет множество точек(x, y), которые в сочетании с базисной точкой (x₀, y₀) образуют векторы , параллельные данному вектору . Уравнение прямой в этом случае примет вид: . Это уравнение называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

С другой стороны, прямую на плоскости можно рассматривать, подобно плоскости в пространстве, как множество точек, пары которых образуют векторы, перпендикулярные данному. Соответственно, уравнение прямой на плоскости можно записать в форме уравнения плоскости, но для двух переменных: A(x  x₀) + B(y  y₀) = 0, где (А, В) координаты вектора нормали к прямой, а (x₀, y₀) – координаты некоторой фиксированной точки.

13. Собственные числа и собственные векторы матрицы (оператора)

Вектор a 0 называется собственным вектором оператора(матрицы) A, отвечающим собственному числу (собственному значению) , если действие оператора A на вектор a сводится к умножению вектора a на число  : Aa =  a . Собственные числа являются корнями характеристического уравнения det (A – E) = 0

14. Определенность формы и критерий Сильвестра.

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если она на всех ненулевых векторах принимает только положительные (только отрицательные) значения.

Критерий Сильвестра. Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры от порядка 1 до порядка n были положительны. Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы знаки всех главных миноров от порядка 1 до порядка n строго чередовались – знак главного минора порядка k был (–1)^k

Главным минором матрицы порядка k называется минор, построенный на первых k строках и первых k столбцах матрицы

дифференциальное исчисление.

Функции одной переменной

1. Какая функция одной переменной называется дифференцируемой?

Рассмотрим поведение функции в окрестности произвольной точки х₀, приращение аргумента обозначим х = х − х₀, а приращение функции обозначим f = f(x) − f(x₀).

Если в окрестности данной точки приращение функции можно представить в виде суммы линейного члена Ах и ошибки , порядок малости которой выше первого, то функция называется дифференцируемой в точке x₀, а линейная часть приращения Ах называется первым дифференциалом и обозначается df; при этом коэффициент А называется первой производной в точке x₀

f = f(x) − f(x₀) = df +  = Ах + o(x); т.е. :

df = Ах и  = o(x);

При этом по умолчанию полагаем : dх = х

2. Что такое первая производная?

Скорость роста функции в точке х₀, − коэффициент при х в первом дифференциале. Наглядно: прирост функции при увеличении аргумента на единицу. Формально