Обязательные вопросы и ответы на них

Линейная алгебра.

1. Что такое линейная комбинация и что значит "разложить вектор по данному набору

Линейной комбинацией векторов {e₁, e₂, …e_n} называется вы­ражение  ₁e₁ +  ₂e₂ + … _ne_n = Таким образом, линейная комбинация – это просто сумма векторов с числовыми коэффициентами 

Если вектор a может быть представлен в виде линейной комбинации векторов {e_i}, то мы говорим, что a раскладывается по набору {e_i}, а соответствующая линейная комбинация называется разложением вектора a. Другими словами, разложить вектор a по векторам {e_i} означает найти такие числа _i , чтобы

a = ₁e₁ +  ₂e₂ + … _ke_k ;

сами числа _i называются коэффициентами разложения a по системе {e_i}.

2. Какой набор векторов называется независимым/зависимым

Система (набор, совокупность) векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов системы может быть разложен по остальным векторам. Другими словами, если существует линейная комбинация всех векторов системы, кроме e_k, равная e_k .

Второе определение: система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная т.е. если нульвектор раскладывается по данному набору неединственным образом. Все векторы по зависимому набору раскладываются неединственным образом (если раскладываются вообще). Определение независимого набора получается построением отрицания к определению зависимого набора.

3. Что такое размерность линейного пространства

Размерностью конечномерного линейного пространства L называется максимально возможное число векторов пространства L в независимой системе (обозначается dim L или dim_L). Другими словами, линейное пространство называется n–мерным, если:

1. В пространстве существует независимая система, состоящая из n векторов;

2. Любая система, состоящая из n +1 вектора, линейно зависима.

4. Что такое базис линейного пространства

Б

Рис. 1

азисом линейного пространства L_n называется любая независимая система векторов , число элементов которой равно размерности пространства.

Второе определение: базис линейного пространства это полная и независимая система векторов, т.е. это такой набор векторов, по которому любой вектор раскладывается и притом единственным образом

5. Определитель квадратной матрицы и его основные свойства.

Определитель порядка n равен сумме попарных произведений элементов какой-либо строки/столбца на алгебраические дополнения этих элементов

det A = a_i1 A_i1 + a_i2 A_i2 + a_i3 A_i3 + … +a_in A_in = .

Свойства определителя:

1. Определитель не меняется при транспонировании (при «рокировке» столбцов и строк с одинаковыми номерами).

2. Общий множитель элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя

3. Если поменять местами любых две строки/столбца, определитель сменит знак.

4. Если к элементам любой строки/столбца прибавить произвольную линейную комбинацию других строк/столбцов, то определитель не изменится

5. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки/столбцы линейно зависимы.

6. Если в формуле (3) разложения определителя умножать элементы некой строки на дополнения любой другой строки определителя, получим 0: a_i1 A_r1 + a_i2 A_r2 +… +a_in A_rn = = 0. Последние два свойства являются важнейшими