6. Ранг матрицы и теорема о ранге.
Рангом матрицы A (обозначается rg(A)) называется максимальный порядок ненулевых миноров матрицы. То есть, матрица имеет ранг k, если у нее есть (хотя бы один) не равный нулю минор порядка k, а любой минор порядка k + 1 равен нулю.
Всякий ненулевой минор максимального порядка называется базисным минором, его столбцы называются базисными столбцами, а строки – базисными строками.
Теорема о ранге. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк/столбцов. Базисные строки/столбцы линейно независимы, и всякая другая строка/столбец представляется в виде линейной комбинации базисных. Отсюда второе определение ранга: рангом матрицы называется максимальное количество линейно независмых столбцов\строк, т.е. матрица имеет ранг k, если у нее есть независимый набор, содержащий k столбцов, а всякие k + 1 столбец линейно зависимы
7. При каких условиях линейная система уравнений всегда совместна и при каких она всегда определена
Если ранг матрицы системы равен числу уравнений системы (т. е. все строки основной матрицы системы, а значит, и все уравнения, независимы), система имеет решение при любой правой части (всегда совместна).
Если ранг матрицы системы равен числу неизвестных системы (все столбцы основной матрицы независимы), то решение системы, если оно существует, всегда единственно (система всегда определена).
8. Центральная идея процедуры Гаусса – уметь применять.
Центральная идея процедуры: поскольку замена любого уравнения системы комбинацией этого уравнения с другими уравнениями приводит к эквивалентной системе, то комбинируя любое уравнение с первым можно добиться того, чтобы первый коэффициент во всех уравнениях системы, кроме первого был равен нулю (в первом столбце все коэффициенты равны 0, кроме первой строки. Мы получим тем самым систему всех уравнений, кроме первого, которая не содержит первого неизвестного. Теперь рассматривая эту систему из k – 1 уравнения можем повторить процедуру и получим систему из k - 2 уравнений и т.д.
9. Скалярное произведение. Угол между векторами и проекция вектора на направление.
Скалярное произведение равно сумме попарных произведений соответственных координат или произведению длин векторов-сомножителей на косинус угла между ними
(ab)=
a1b1
+ a2b2
+ … + anbn
=
=
|a|
|b|
cos
Прb
a =
10. Условия параллельности и перпендикулярности двух векторов
Два вектора параллельны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:
Два вектора
перпендикулярны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение
равно нулю:
11. Уравнение плоскости и смысл параметров.
Линейное уравнение в трехмерном пространстве с шестью параметрами:
A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0
описывает плоскость в пространстве. При этом параметры А,В,С определяют координаты вектора (А, В, С)′, перпендикулярного к плоскости, заданной уравнением; этот вектор называется вектором нормали.
Соответственно параметры (x0, y0, z0) – координаты некоторой фиксированной (т.н. базисной) точки на нашей плоскости, переменные (x, y, z) описывают некую произвольную (текущую) точку, а разности (x x0), (y y0), (z z0) координаты текущего вектора. Если этот вектор окажется перпендикулярен нормали, а, значит, параллелен плоскости, это и будет означать, что точка (x, y, z) лежит на плоскости, описываемой указанным уравнением.