4. Контрольные вопросы

1. Найти амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала

.

2. Найти амплитудный и фазовый спектры экспоненциального импульса

3. Сформулировать условие неискаженной передачи сигнала вида

.

4. Найти амплитуду третьей гармоники сигнала на выходе цепи, если на ее вход подан меандр (рис. 6, а). Частотная характеристика цепи имеет вид

.

5. Найти спектр сигнала на выходе линейной цепи с частотной характеристикой

,

если на ее вход подается одиночный прямоугольный импульс длительностью T₀ и высотой X₀.

Лабораторная работа № 3 интегрирующие и дифференцирующие цепи

Цель работы: Знакомство со схемами и принципами работы пассивных дифференцирующих и интегрирующих цепей.

1. Теоретические сведения

Подавляющее большинство радиотехнических цепей содержат различные соединения дискретных пассивных элементов (R, L и C). Основной интерес представляют цепи, состоящие из различных элементов (RC-, RL-, LC-, или RLC-цепи), которые дифференцируют и интегрируют входные сигналы, ослабляют их некоторые частотные составляющие и так далее.

Интегрирующие и дифференцирующие свойства цепей этого класса основаны на физических процессах, происходящих в дискретных элементах. Например, интегрирование в RC-цепях происходит за счет накопления энергии в электрическом поле конденсатора, а в RL-цепях – за счет накопления энергии в магнитном поле катушки индуктивности. В данной лабораторной работе рассматриваются наиболее простые из этих цепей и их свойства, проявляющиеся в частотной и временной областях.

1.1. Частотные характеристики дифференцирующих и интегрирующих цепей

Рассмотрим линейную цепь, представляющую собой идеальный интегратор, то есть работающую по закону

,

где u₁(t) и u₂(t) – сигналы на входе и выходе цепи. Переходя в частотную область и учитывая свойства преобразования Фурье, получим

.

Здесь U₁(j) и U₂(j) – спектры входного и выходного сигналов:

.

Известно, что связь спектров сигналов на входе и выходе линейной цепи обеспечивается с помощью ее частотной характеристики K(j), модуль которой k() = |K(j)| называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) цепи, а аргумент () = arg{K(j)} – фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Таким образом, частотная характеристика идеального интегратора, а также его АЧХ и ФЧХ равны:

.

(1)

Рассуждая аналогично, получим частотную характеристику идеального дифференциатора

.

(2)

Рис. 1. Интегрирующие RC- и RL-цепи

Теперь рассмотрим реальные пассивные интегрирующие RC- и RL-цепи, вид которых представлен на рис. 1. Частотную характеристику RC-цепи найдем методом комплексных амплитуд, записав для нее законы Ома и Кирхгофа:

.

После несложных преобразований получим

.

Аналогично вычисляется частотная характеристика интегрирующей RL-цепи (проверьте!)

.

Рис. 2. АЧХ интегрирующей цепи (а)

и идеального интегратора (б)

Таким образом, при отсутствии нагрузки (R_н = ) частотные характеристики интегрирующих цепей могут быть записаны в виде

,

(3)

где постоянная времени  = RC для интегрирующей RC-цепи и  = L/R для интегрирующей RL-цепи. Полученное выражение (3), а также вид АЧХ, представленный на рис. 2, позволяют сделать вывод, что в диапазоне частот  >> 1/ частотные характеристики рассматриваемых цепей близки к характеристикам идеального интегратора (1). Если спектр входного сигнала U₁(j) сосредоточен в области частот  >> 1/, выходной сигнал u₂(t) будет практически совпадать с интегралом от входного u₁(t).

Рассмотрим пассивные дифференцирующие цепи (рис. 3). Частотную характеристику дифференцирующей RC-цепи найдем, записав законы Ома и Кирхгофа для комплексных амплитуд:

.

Отсюда следует выражение для частотной характеристики дифференцирующей RC-цепи

Рис. 3. Дифференцирующие RC- и RL-цепи

.

Аналогично вычисляется частотная характеристика дифференцирующей RL-цепи

.

Без учета сопротивления нагрузки обе частотные характеристики записываются в виде:

,

(4)

Рис. 4. АЧХ дифференцирующей цепи (а)

и идеального дифференциатора (б)

где, как и ранее,  = RC для RC-цепи и  = L/R для RL-цепи. Видно, что в диапазоне частот  << 1/ частотные характеристики рассматриваемых цепей близки к характеристикам идеального дифференциатора (2), и если спектр входного сигнала U₁(j) сосредоточен в области частот  << 1/, сигнал на выходе цепи u₂(t) будет являться производной входного сигнала u₁(t). Вид АЧХ (4) и АЧХ идеального дифференциатора (2) показаны на рис. 4.