Лабораторная работа № 1 временные методы исследования линейных цепей

Цель работы: Изучение методов измерения временных характеристик линейных цепей и способов их применения для расчета отклика цепи на заданное входное воздействие.

1. Теоретические сведения

Временные методы анализа линейных стационарных цепей основаны на принципах динамического представления сигналов, а также – на свойствах линейных операторов, описывающих цепь.

1.1. Динамическое представление сигналов

Смысл динамического представления состоит в приближении исследуемого сигнала взвешенной суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. В пределе, при стремлении временных интервалов между соседними элементарными сигналами к нулю, получается точное представление исходного сигнала. При этом в качестве элементарных сигналов обычно используют обобщенные функции – функцию Хевисайда или -функцию Дирака.

Рассмотрим сигнал, математической моделью которого является функция Хевисайда (функция включения), описываемая выражением

(1)

Форма (1) не является единственно возможным способом определения функции включения. Так, например, она может быть описана с помощью предела

.

Рассмотрим произвольный сигнал x(t), такой, что x(t) = 0 при t < 0, и представим его в виде суммы функций включения, возникающих в моменты времени t_k = kt (рис. 1, а)

.

Домножив и поделив сумму в этом выражении на шаг дискретизации t и устремляя его к нулю, получим

.

(2)

Это формула динамического представления сигнала посредством функции Хевисайда. Интеграл (2) называют интегралом наложения (интегралом Дюамеля).

Рассмотрим другой способ представления сигналов. Введем -функцию Дирака как предел последовательности прямоугольных импульсов длительностью  при   0

.

(3)

EMBED Word.Picture.8

Рис. 1. Представление сигнала x(t) в виде суперпозиции функций включения (а)

и суперпозиции прямоугольных импульсов (б)

Заметим, что при любом  импульс, сформированный из функций Хевисайда, имеет единичную площадь, поэтому интеграл от -функции в бесконечных пределах равен единице.

Одним из самых интересных свойств -функции является ее фильтрующая способность. Можно сформулировать это свойство следующим образом: интеграл от произведения произвольной функции f(t) такой, что

,

на -функцию дает значение f(0), то есть

.

(4)

Именно соотношение (4) в математике используют как определение обобщенной функции (t). Доказано, что свойствами -функции обладают пре­делы последовательностей следующих функций

.

Пользуясь соотношением (4), легко показать, что фильтрующие свойства -функции сохраняются и при ее временном сдвиге, то есть

.

Представим сигнал x(t) в виде суммы прямоугольных импульсов равной длительности, возникающих в моменты времени t_k = kt и имеющих высоту x[k] = x(kt), как это показано на рис.1, б:

.

Домножив и разделив это выражение на t и устремив t к нулю, получим

.

(5)

Интеграл вида (5) называют сверткой функций x(t) и (t) и обозначают следующим образом: .