1.2. Линейные стационарные цепи

Любое радиотехническое устройство, преобразующее входной сигнал x(t) в выходной y(t) по определенному правилу, называется цепью. Связь между математическими моделями входного и выходного сигналов, осуществляемая цепью, может быть выражена в форме

,

(6)

Рис. 2. Модель линейной стационарной цепи

причем оператор L является математической моделью цепи. Оператор, удовлетворяющий условию

,

(7)

называется линейным оператором, а цепь, описываемая им,  линейной цепью. Цепь, оператор которой инвариантен к временному сдвигу (стационарен), называется стационарной цепью (рис. 2). Определение стационарной цепи может быть сформулировано следующим образом: если y(t) – реакция цепи на входное воздействие x(t), то сдвиг во времени входного сигнала на величину  приводит к временному сдвигу отклика цепи на ту же величину

.

(8)

Очевидно, стационарный оператор не должен явно за­висеть от вре­ме­ни, а это означает, что он обладает двумя важными свойствами

	,	(9)
.		(10)

1.3. Временные характеристики линейных цепей

Как уже упоминалось в п. 1.1, идея динамического представления сигналов состоит в их представлении линейной комбинацией взвешенных и сдвинутых друг относительно друга элементарных сигналов, в качестве которых используются функция Хевисайда (t) (1) или -функция (3). Свойства линейной цепи (9) и (10) позволяют вычислить выходной сигнал, если известна реакция этой цепи на какой-либо из элементарных сигналов. Так, реакция линейной цепи на входной сигнал в виде функции включения (1) называется переходной характеристикой цепи g(t)

.

(11)

Поскольку сигнал на выходе цепи не может появиться раньше входного воздействия, переходная характеристика любой физически ре­ализуемой цепи должна удовлетворять принципу причинности (каузальности), который формулируется следующим образом

.

(12)

Любой входной сигнал, равный нулю для t < 0, может быть представлен в виде интеграла наложения (2). Тогда, пользуясь соотношениями (6)(10) и определением (11), можно найти реакцию линейной стационарной цепи на произвольный входной сигнал

.

Эта формула, позволяющая по переходной характеристике цепи найти ее реакцию на произвольный каузальный входной сигнал, также называется интегралом Дюамеля. С учетом каузальности цепи и того, что сигнал начался в момент времени t = 0, полученное выражение может быть записано в виде

.

(13)

Импульсной характеристикой h(t) линейной стационарной цепи называется реакция цепи на сигнал в виде -функции (короткого импульса единичной площади). Используя выражения (3) и (9), легко показать связь между импульсной и переходной характеристиками

.

(14)

На рис. 3 показаны примеры переходной и импульсной характеристик линейной цепи.

Для импульсной характеристики физически реализуемой цепи также справедливо условие каузальности, аналогичное (12)

.

Пользуясь представлением входного сигнала x(t) в виде интеграла Дюамеля (5), свойством линейного оператора (9) и определением импульсной характеристики (14), найдем реакцию линейной стационарной цепи на произвольный входной сигнал x(t), если известна ее импульсная характеристика

.

Данное выражение может быть переписано с учетом каузальности цепи и равенства нулю входного сигнала при t < 0:

.

(15)

Рис. 3. Примеры переходной (а) и импульсной (б) характеристик линейной цепи

Отметим, что интеграл Дюамеля (13) может быть получен из соотношения (15) интегрированием по частям с учетом связи (14). Таким образом, как импульсная, так и переходная характеристики линейной стационарной цепи, полностью характеризуют эту цепь и позволяют однозначно определить сигнал на выходе цепи по известному входному сигналу. Выражения (13) и (15) являются основой временных методов анализа линейных цепей.

Если линейная цепь устойчива, то есть на входное воздействие конечной энергии отвечает откликом, энергия которого также конечна, ее импульсная характеристика должна затухать при t  . Временной интервал _у, на котором импульсная характеристика затухает в e раз по сравнению с максимальным значением (рис. 3), называют временем установления цепи. Для измерения импульсной характеристики вместо -функции используют импульс единичной площади, длительность которого много меньше времени установления цепи.

При использовании цифровых методов обработки сигналов вместо непрерывных функций времени применяются дискретные последовательности их отсчетов, взятых в моменты времени nt (n = 0, … , N – 1). Интервал t между двумя соседними отсчетами сигнала называют шагом дискретизации. Таким образом, каждой функции f(t) ставится в соответствие последовательность f[n] = f(nt). Запишем аналоги выражений (13) и (15), связывающие дискретные последовательности на входе и выходе линейной стационарной цепи:

,	(16)
.	(17)

Полученные выражения называются дискретными свертками. Как видно из этих формул, для получения отсчетов сигнала на выходе исследуемой цепи y[n] необходимо знать отсчеты входного сигнала x[n] и последовательности, соответствующей импульсной h[n] или переходной g[n] характеристике цепи.