§ 20. Производная оператора по времени

Пусть средняя от величины , тогда .

Ставим в соответствие величине оператор , тогда величине ставим в соответствие .

Распишем:

{ограничение } { и соотношение , }=

= ={ }= => {распишем квадратную скобку операторов: , но , тогда

}

В классической механике . []-скобки Пуассона.

В квантовой механике существует связь:

В пределе имеем .

В квантовой механике большинство операторов физических величин явно не зависят от времени и их частные производные равны 0.

§ 21. Интегралы движения в квантовой механике

В классической механике , где , тогда A – интеграл движения.

В квантовой механике, чтобы величина , которой ставится в соответствие оператор , была интегралом движения нужно, чтобы .

Для того чтобы физическая величина сохранялась, необходимо и достаточно, чтобы .

1. т. к. , то -значение момента импульса сохраняется, т. е. является интегралом движения.

2. . - интеграл движения.

3. . Отсюда следует. Что различные компоненты момента импульса одновременно не измеримы. А измерима только одна проекция .

4. . Квадрат импульса одновременно измерим с любой компонентой момента импульса.

5. , тогда импульс не является интегралом движения.

§22. Флуктуации физических величин

Пусть есть - физическая величина, которая при измерении с вероятностью W_i дает величину , тогда мы можем говорить о среднем и о дисперсии , где

.

Мы вводили флуктуацию

,

отклонение величины от ее среднего значения.

Перенесем все это на язык квантовой механики, т. к. физической величине мы ставим в соответствие .

Можно показать, что .

Неравенство Коши-Шварца: Оно справедливо и для функциональных пространств, в том числе и для Гильбертова пространства, которое рассматривается в квантовой механике.

Для двух векторов оно имеет вид

имеет смысл тот, что .

, .

Теперь, если обозначить , , тогда будем также рассматривать статистическое усреднение . Отсюда получим из неравенства Коши-Шварца:

Теперь, если определить . К тому же по определению из имеем , тогда . Из этого следует, что

.

В случае квантовой механики заменяем на , тогда

.

Задача. Для стационарного состояния частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме найти

Решение. Будем считать, что в.ф. для данной системы уже получены (см. §27).

Согласно определению: (22.1)

Поэтому остается рассчитать

а) В случае числа находится вычислениями

Подставляя полученные значения в (22.1), получаем

б)Для оператора

Среднее значение будет равно

Подставим в (22.1) и получим

§ 23. Неравенство Гейзенберга

Канонически сопряженные величины одновременно неизмеримы – это принцип неопределенности.

Под канонически сопряженными понимаем величины и .

В квантовой механике для операторов и , которые поставлены в соответствие канонически сопряженным величинам имеем

.

Более того , а сам коммутатор имеет вид оператора .

Это можно записать в виде .

Если , то , тогда , где .

, т.к. и есть числа.

Обозначим . Здесь - единичный оператор.

Тогда из получим (*)

Введем обозначение

Подставим это в неравенство Коши-Шварца, тогда

Используем эрмитовость операторов

,

,

тогда

.

Поделим левую и правую части на , тогда

Используем определение среднего

,

тогда

.

Или

Операторы и не коммутируют, тогда

.

Первое слагаемое обозначим , .

Второе слагаемое .

Оператор дает чисто вещественное число, а дает чисто мнимое число.

Тогда

,

где .

.

Окончательно

.

В полученном неравенстве математически заложен принцип неопределенности Гайзенберга.

Если величина измерена точно, то ,т.е. .

Если , то величина A измерена точно и , но тогда для , т. к. . Из этого следует, что канонически сопряженная величина B не измерима.

Когда измеряем величину , то получаем спектр значений , которые выходят с вероятностью . Для того чтобы необходимо чтобы система находилась в состоянии .