§41. Основное состояние атома гелия

Рассмотрим основное одночастичное состояние:

.

Здесь удобно перейти к атомным (кулононовским) единицам, чтобы исключить константы , , , тогда

.

В кулоновских единицах одночастичная функция для основного состояния выглядит:

.

Каким квантовым числам соответствует одночастичное состояние? Вводят три квантовых числа (без спина): , , . Для основного одночастичного состояния 1, 0, 0 соответственно.

Тогда, ставим индексы

.

Эта функция нормирована на единицу, т. е.

.

Если взять симметричные и антисимметричные функции для двух частиц в основном состоянии, то имеем:

,

.

И получаем, что основное состояние описывает симметричная функция. Вычисление энергии одночастичного состояния для центрального поля мы проводили и получали в размерных единицах

.

Или в кулоновских единицах

.

, .

Так как у нас два электрона, то есть две частицы, то

.

В первом приближении, энергия основного состояния для атома Гелия в атомных единицах

.

В самосогласованном методе решение оказывается:

.

Из эксперимента

.

Задача

Определить приближенно энергию основного уровня атома гелия (ядро с зарядом Z и два электрона), рассматривая взаимодействие между электронами как возмущение.

Решение

В основном состоянии иона оба электрона находятся в S-состояниях. Невозмущенное значение энергии равно удвоенному основному уровню водородоподобного иона:

.

Поправка первого приближения дается средним значением энергии взаимодействия электронов, взятом по состоянию с волновой функцией

.

(произведение двух водородоподобных функций с )

Интеграл

проще всего вычислить так

,

,

.

Энергия распределение зарядов в поле сферически – симметричного распределения . Подынтегральное выражение интеграла по есть энергия заряда в поле сферы . Множитель 2 перед интегралом учитывает вклад от конфигураций, в которых . Таким образом, получим

.

Окончательно

.

Когда рассчитываем основное состояние, то функция основного состояния должна быть

,

однако, ранее мы получили формулу

.

Мы все это рассчитываем через

(47.1)

Однако, правильный результат получается из

.

Тогда в формуле (47.1) стоит при лишня двойка, которая потом дала .

§42. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения

Рассмотрим оператор , который обладает дискретным спектром:

Под номером понимается набор всех квантовых чисел, определяющих состояние системы.

– значения образующие энергетический спектр.

Так как спектр невырожденный, то между состоянием и уровнем (энергией) существует взаимооднозначное соответствие, т.е.:

Т.к. спектр дискретный, то функции квадратичноинтегрируемы:

Пусть ЗШЛ решена и найдем собственные функции и собственные значения .

Рассмотрим ЗШЛ:

.

Оператор здесь имеет такую структуру, что эта ЗШЛ просто не решается, как ЗШЛ для операторы .

Оператор должен :

1. Иметь структуру , где – оператор для которого задача решена., – дает малую добавку в оператор.

2. Спектр собственных функций дискретен, тогда собственные функции квадратичноинтегрируемые

Решим задачу разложения по малому параметру ( через теорию возмущений).

Из этого получаем

т.к. параметр малый, то энергетический спектр можно разложить по малому параметру:

p – указывает порядок разложения и показывает малость члена суммы.

отвечает невозмущенной задаче

– поправка имеющая первый порядок малости.

Т.к. собственные функции оператора образуют базис, то по ним можно разложить собственные функции возмущенного оператора

Коэффициенты разложения:

Их можно разложить по малому параметру:

Теперь задача теории возмущений состоит в нахождении членов рядов:

Чем больше членов рядов найдем, тем точнее решим задачу.

Подставим в и вынесем коэффициенты за знак операторов

Используем решение для невозмущенного операторы

Обозначим этот ряд , где , тогда

Используем соотношение

Коэффициенты выносятся за знак скалярного произведения:

Рассчитаем

– это матричный элемент оператора возмущений, который рассчитывается по невозмущенным функциям.

Тогда имеем

Получили матричное уравнение, которое должны разложить по малым параметрам и прировнять к 0 все слагаемые соответствующие своим порядкам малости.

считается величиной первого порядка малости, по нему проводится разложение.

Используем, что

Здесь

Тогда

Получили исходное уравнение. К чему еще добавляются две нормировки:

Подставим в уравнение выражения

Группируем члены по порядку малости. По каждому порядку должны получать справа ноль.

Сначала нулевой порядок

Так как имеет первый порядок малости то член связанный с ним будет отсутствовать.

Из этого выражения получаем что, так как спектр невырожденный, при

Дает и получаем , а при может быть

Легко видеть, что так как

,

то нулевое приближение дает

.

Тогда в нулевом приближении имеем решение:

Теперь для уровней:

.

Окончательно в результате нулевого приближения

Перейдем к первому приближению.

Получим дополнительные соотношения из условия нормировки возмущенных

функций.

Так как

получим

.

Подставим сюда разложение по малому параметру

,

тогда имеем

Здесь справа стоит величина нулевого порядка малости.

для , .

для

Рассмотрим первое приближение: . Два случая и , и .

Из имеем

Используем, что

Тогда из и :

.

Из рассмотрим случай :

- поправка к i-ому энергетическому уровню первого порядка малости.

Тогда в первом приближении

и также получаем

.

Тогда получили, что

,

т.е. коэффициенты чисто мнимые.

Ввиду неопределенности фазового множителя при волновой функции, то полагают

,

тогда принимают .

Из рассмотрим случай .

.

Подставим это выражение в и проверим условие нормировки:

.

Распишем

Получили истинность условия нормировки.

Тогда в первом приближении теории возмущений получили:

.

Нам необходимо найти волновые функции, для них