§43. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближение
При n=2 возможно:
p=2, q=0; p=1, q=1; p=0, q=2.
Для членов второго порядка малости запишем из (3)
(9*)
Теперь запишем для второго порядка выражение (5*):
(10*)
Рассмотрим случай i=j:
=
Получили поправку второго порядка
малости к энергетическому уровню
основного состояния. Пусть j-
основное состояние 
(так как спектр невырожденный). Тогда
знаменатель в поправке второго порядка
всегда отрицательный. Тогда поправка
всегда отрицательна.
Рассмотрим
теперь (10*): его можно в общем случае
записать, учитывая, что 
:
Рассмотрим случай i=j:
Из этого
уравнения находим действительную часть
,
а мнимая часть обращается принудительно
в ноль.
(11*)
Случай i≠j
Обычно пишут
Тогда
§44. Критерий применимости теории возмущений
Имеем волновые функции:
- не возмущенное состояние .
-
возмущенное состояние
,
где
.
Обе они нормированы на единицу:
Теория возмущений работает, если поправка к невозмущенной функции мала.
Ранее получено
кроме того
,
где
-
порядок малости в теории возмущений.
Теория срабатывает если поправка мала по сравнению с нормой функции, тогда критерий применимости теории возмущений
также можно использовать другие соотношения, например
Рассмотрим критерий малости
.
Штрих
над суммой означает, что при суммировании
выбрасываем значения с
,
т.е. суммирование по
,
где
.
Раньше
получали
для
,
тогда
Тогда
при
получаем критерий применимости теории
возмущений в виде неравенства
но этот критерий не всегда верен. Однако если он не выполняется, то теория точно не выполняется.
Этот критерий дает условие:
Отсюда ясно, что если имеются вырожденные уровни, то требуется модификация метода.
Будем
считать под
состояния
системы:
.
То
Тогда
§45. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней.
Пусть у нас два близких уровня, а остальные уровни хорошо удовлетворяют критерию (5).
Пусть близкие уровни - это уровни i=1,2. Близость уровней определяется из критерия (5).
Модификация теории возмущений состоит
в том, чтобы в качестве нулевого
приближения для 1 и 2 состояния подобрать
такие функции 
и 
,
которые обращали бы в ноль 
- числитель критерия (5).
По определению:
Мы рассмотрим набор
Очевидно, что
Распишем:
Рассмотрим свойства невозмущенной функции:
Они удовлетворяют ЗШЛ:
где 
- невозмущенный оператор.
(6)
Эта матрица имеет диагональный вид, т. к. мы рассматриваем матричные элементы на собственных функциях этого оператора.
Мы ввели и для того, чтобы ввести такой матричный элемент, чтобы он
тогда (5) будет для и давать 0 и теория возмущений будет работать.
Таким образом, мы ввели новый возмущенный
базис
и
.
В этом новом базисе мы должны диаганализовать
Искомое преобразование является
унитарным, так как оно не нарушает
условия нормировки. Надо подобрать
коэффициенты 
Используем
Но
или в матричном виде
Из свойства ортонормированности найдем
свойства коэффициентов 
т.е.
Это унитарное преобразование, оно сохраняет нормировку.
Запишем ЗШЛ для модифицированных функций.
тогда подставим явно и
Рассмотрим случай i=1,
умножим левую и правую части этого
уравнения скалярно на 
и 
,
тогда имеем:
Введем обозначения:
Перепишем эти уравнения в виде
(7)
Система линейных однородных уравнений. Она имеет нетривиальное решение только при det=0.
Обозначим
Имеем решение
При i=2, то по аналогии
и обозначив
получаем
Во втором случае решение аналогично первому. Однако мы приписываем одному знак +, а другому -.
Имеем тогда уровни энергии:
Перейдем к системе (7). Из нее имеем
Кроме этого используем соотношение
т.е. имеем нормировку
Рассмотрим i=j=1 (и аналогично i=j=2)
Введем обозначение:
где α и β – вспомогательные углы, определяемые через матричные элементы H12, H11 и H22.
Тогда коэффициенты b имеем в виде
Таким
образом, при 
теория возмущений срабатывает для двух
близких уровней. Теперь в качестве
нулевого приближения берут:
Модификация касалась только этих дух близких состояний. Остальные состояния не модифицировались, т.к. они сразу удовлетворяли критерию.
Теперь
и 
– теория возмущения работает.