§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
Если в классической механике рассматривать
,
то
.
Если полученному выражению поставить в соответствие оператор в квантовой механике, то он может быть записан в виде:
,
где
-
угол поворота вокруг оси
.
Рассмотрим задачу на собственные функции
и собственные значения для оператора
:
,
Мы накладываем на функцию
условие периодичности, т. к. угол
меняется от
до
,
т. е.:
Используя данное ограничение можно записать:
,
где N и M
целые числа, значит
тоже должно быть целым:
,
где
-
целое безразмерное число. Из условия
периодичности получили квантованность
проекции орбитального момента на ось
z. Спектр собственных
значений оператора
дискретный. Так как
целое число, то функция
приобретает индекс:
Найдем константу
.
Запишем условие нормировки
:
При
интеграл дает
.
В результате получаем выражение для
:
Тогда имеем для уравнения
собственную волновую функцию
Таким образом, спектр собственных значений оператора дискретный, а собственные функции нормируемые.
§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы
Для оператора :
Найдем
,
где
- есть функция
и
,
т.е.
- координатное представление.
Подействуем этим коммутатором на некоторую произвольную функцию :
(18.1)
Аналогичный результат для оператора в импульсном представлении:
, (18.2)
здесь
.
Рассмотрим частные случаи формул (18.1) и (18.2):
,
здесь
играет роль функции
.
,
здесь
потенциальная энергия - функция координат
и времени.
3a.
,
здесь импульсное представление, таким
образом
.
5a.
.Для
одной материальной точки
,
тогда:
-
координатное представление.
-
импульсное представление.
Рассмотрим соотношение для оператора
Используем дополнительное соотношение:
{используем
(18.1) и (18.2):
,
}
{
,
тогда второе слагаемое
}
=
{в
классической математике измерение
компонента вектора при бесконечно малом
повороте:
,
это отношение справедливо и в квантовой
теории поля:
}={
}={
,
.
В общем случае импульс и координата не
коммутируют, тогда функция координат
и импульсов и импульс, координата и
функция координат и импульсов не
коммутируют. Если f
– функция скалярная, тогда она не
меняется при вращении. В этом случае,
чтобы
,
то f – векторная
функция.}
(где f есть
компонента некоторой векторной величины,
т. е.
.
Тогда перепишем
в виде
:
{меняем
местами индексы}
Тогда для любой векторной функции имеем:
Здесь вместо
можно подставить, например,
- коммутатор
с любым скаляром равен нулю.
Получим:
§ 19. Волновое уравнение
Надо сформулировать уравнение функции, которая описывала бы квантово-механическую систему.
Это уравнение было получено Шредингером интуитивным путем. Оно ниоткуда не выводится.
Приведем некоторые соотношения в пользу уравнения Шредингера:
Норма волновой функции:
- вероятность обнаружить динамические
переменные в интервале
.
Наложим на
- условие ее сохранения во времени.
- это физическое требование, поскольку
,
то
также
функция времени.
На базе ограничения
получим некоторые ограничения на
.
Обозначим
.
Мы знаем, что
,
таким образом
.
Тогда само скалярное произведение
- чисто мнимое число.
Но
- число вещественное. Отсюда можно
представить
(19.1)
Здесь мнимая единица из соотношения . Т. к. в (*) стоит линейный оператор , то это соотношение удовлетворяет принципу суперпозиции.
Подставим (19.1) в равенство , тогда
- эта величина должна быть чисто
вещественной, тогда оператор
- эрмитов:
.
Свойства оператора :
В пределе перехода к классической
механике:
,
то
,
где S – действие
из классической механики. Причем
,
тогда рассматривая
,
(19.2)
где
-
функция Гамильтона.
В нашем случае
,
тогда учитывая предельный переход
и (19.2), то:
.
Получили волновое уравнение:
- нестационарное уравнение Шредингера
(волновое уравнение).
Каждой системе ставится в соответствие Гамильтониан, решаем с гамильтонианом уравнение Шредингера и получаем волновую функцию которая определяет эволюцию системы.