§15. Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии

Будем использовать координатное представление ( - представление). Будем рассматривать систему из одной материальной точки. Действие сводится к умножению на вектор , т. е. (это определение действия оператора ).

Здесь строго соблюдается последовательность операторов при раскрытии векторного произведения, например, первая компонента:

,

однако для частного случая декартовых координат порядок операторов не существенен.

Оператор энергии или гамильтониан :

,

здесь - оператор кинетической энергии, - оператор потенциальной энергии. Для одной материальной точки гамильтониан имеет вид:

Переменная t – признак внешнего нестационарного поля.

Тут присутствует и , но и одновременно неизмеримы, тогда потенциальная и кинетическая энергия в квантовой механике не могут быть одновременно измеримыми. В квантовой механике существует понятие “энергия частицы”, но порознь вводить энергию нельзя, иначе либо , либо оказываются неизвестными.

§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора

Оператор импульса – оператор с непрерывным спектром собственных значений.

(16.1)

Мы рассматриваем координатное представление, тогда - функция координат.

Оператор векторный, он имеет три компоненты:

Например:

(16.2)

Тогда уравнение (16.1) разбивается на три независимых члена, т.к. операторы коммутируют. Существует утверждение, что если можно представить в виде суммы коммутирующих операторов:

, ,

то задача на собственные функции и собственные значения распадается на подзадачи этих коммутаторов:

Для задачи (16.1) имеем:

,

где i принимает значения 1,2,3

Решим случай i=1, тогда

(16.3)

Подставляем (16.2) в (16.3) и временно опустим индекс px у , тогда имеем

т.к. - функция одной переменной, то:

здесь - число, собственное значение.

При решении задачи получили, что p имеет непрерывный спектр на всей числовой оси. Т. е. - не квантуется. Найдем . Используем условие ортонормированности:

В нашем случае:

,

Тогда:

(16.4)

.

.

Обозначим .

.

Тогда

Интеграл дает с точностью до множителя - функцию, поскольку:

Используем следующее свойство -функции:

.

В нашем случае получим

,

тогда

(16.5)

Сравнивая (16.5) и (16.4) получим:

В связи с тем, что волновые функции в квантовой механике определены с точностью до фазового множителя, то

.

Фаза точно не определена, и ее можно отнести к самой волновой функции. Такая неоднозначность принципиальна и не может быть устранена, однако она несущественна, так как не отражается ни на каких физических величинах. Таким образом: . Мы получили

Теперь запишем - для трёх мерного случая:

(16.6)

Функция (16.6) удовлетворяет условию нормировки (16.4).

В импульсном представлении: