Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Фізика.Вступний іспит.Версія 1.0.docx
Скачиваний:
5
Добавлен:
28.09.2019
Размер:
3.28 Mб
Скачать

Механіка

1. Вектори середньої швидкості та прискорення. Їх координатне та векторне представлення. Нормальне і тангенційне прискорення. Вектор повного прискорення.

Вектор середньої швидкості при переміщенні між 2-ома точками визначається як вектор, що збігається за напрямком з переміщенням і = за модулем ветору переміщення, поділеному на час переміщення . У Декартовій системі координат:

Отже, проекції швидкості:

Прискоренням наз. швидкість зміни швидкості. Нехай в моменти і швидкості дорівнюють відповідно і Тобто на проміжку часу швидкість змінилася на .

Середнє прискорення за час дорівнює .

Прискорення – це перша похідна від швидкості або друга похідна від переміщення по часу,тобто

.

Тоді прискорення в координатній формі:

.

Отже,проекції прискорення в декартовій системі координат:

Повне прискорення:

- нормальне або доцентрове прискорення

- тангенційне прискорення. Тангенційне прискорення напрямлене вздовж траєкторії руху,а нормальне – перпендикулярно до траєкторії, тобто до центра кривизни траєкторії.

.

Швидкість завжди напрямлена по дотичній, а прискорення може бути напрямлене під довільним кутом до траєкторії.

2.Закони Ньютона, їх узагальнення. Інтерпретація III закону Ньютона у випадку рухомих зарядів. Границі застосування класичної механіки.

I закон Ньютона: Існують такі інерційні системи, в яких тіла рухаються прямолінійно і рівномірно, якщо на це тіло не діють інші тіла або дія цих тіл скомпенсована. II закон Ньютона: Прискорення, яке одержує тіло масою m під дією сили , прямо пропорційне значенню сили і обернено пропорційне масі тіла . Диф. форма II закону Ньютона: Зміна імпульсу з часом пропорційна силі, яка викликала цю зміну і напрямлена в ту саму сторону: III закон Ньютона: Тіла діють одне на одне з силами, напрямленими вздовж однієї прямої, рівними за модулем і протилежними за напрямком: . Але є випадки, коли в такій формі ІІІ закон не виконується. Розгл. два однойменні заряди, які рухаються зі шв. і . Заряди відштовхуються згідно закону Кулона: . (коли заряди нерухомі). Але заряди рухаються, тоді на них діє сила Лоренца: , тобто на ці два заряди діють по дві сили Отже ІІІ закон Ньютона у простій формі у випадку рухомих зарядів не виконується. Припустимо, що два тіла взаємодіють і третій закон виконується, тобто , тоді , коли . Імпульсом володіють не тільки тіла, а й поля.Ел.-магн. поле має імпульс: Отже, потрібно щоб виконувалась умова : .

Зміст ІІІ закону Ньютона: Сума імпульсів полів і часток повинна бути постійною. Цей закон виражає закон збереження імпульсу. Якщо шв. зарядів невеликі, то силою Лоренца можна знехтувати. Тому при малих швидкостях рухомих зарядів можна вважати, що наближено ІІІ закон Ньютона виконується. Класична механіка виконується для нерелятивістських випадків.

3.Закон всесвітнього тяжіння у векторній формі. Напруженість і потенціал гравітаційного поля. Рух тіл в полі тяжіння. Закони Кеплера.

Закон всесвітнього тяжіння справедливий для двох точкових сферичних тіл: F = G m1m2 / R2, тут G=6.67*10-11 Нм2 /кг2 - гравітаційна стала. Всі тіла притягуються одне до одного. Сила F всесвітнього тяжіння між двома тілами ~ їх масам m1, m2 і обернено ~ квадратові відстані R між ними.

Сили всесвітнього тяжіння, або гравіт. сили – це сили взаємного притягання між усіма матеріальними тілами. Гравітаційна сила чисельно = силі притягання двох тіл масою 1кг кожне, якщо відстань між ними 1м. Взаємодія тіл відбув. через гравіт. поле і ці сили наз. гравітаційними, а область простору, де відбув. ця взаємодія – гравіт. полем.

Якщо силу гравіт. взаємодії F віднести до одиничної маси m1, то отр. силову характеристику гравіт. поля, яку наз. напруженістю гравіт. поля. Е =F/ m1= - G 22 n

Потенціальна Е взаємодії двох тіл визначається U (R) = - G m1m2 / R, вважаючи, що U (R) = 0. Якщо графічно представити залежність U (R), то це означає, що Еn грав. взаємодії являється від’ємною. По мірі наближення двох тіл вона зменшується і min її значення Umin(R) = - G

Якщо величину U(R) віднести до одиничної маси m1, то дістанемо потенціал гравіт. поля. φ(R) = U(R) /m1=- G

Гравіт. потенціал можна обчислити як роботу, яку потрібно виконати, щоб одиничну масу перенести з даної точки на нескінченість.

Напруженість грав. поля – це прискорення, яке отр. тіло, поміщене в дану точку поля тяжіння. Сили тяжіння суттєво впливають на рух лише тоді, коли хоча б одне із взаємодіючих тіл має достатньо велике ( астрономічне ) значення маси. важке тіло ств. в навк. просторі поле тяжіння, а інше важке тіло, поміщене в це поле, відчуває дію сили, що визначається законом всесвітнього тяжіння. При русі тіла в грав. полі, сили, що діють зі сторони поля виконують роботу. Величина роботи визначається тільки почат. і кінцевою точками переміщення і не залежить від шляху переміщення. Гравіт. сили є потенціальними силами.

Ісан Кеплер – нім. астроном, який вивчав рухи планет і комет. ( він емпірично встановив три закони руху планет. )

Допущення: 1) Мс >>m ( Сонце вважаємо нерухомим ). 2) взаємодією між планетами нехтуємо. 3) вважаємо, що планети є матеріальними точками, тоді закони Кеплера можна вивести на основі динаміки р-ня руху планет: m =- G 2 n

1 закон: Всі планети Сонячної системи рухаються по еліптичних орбітах, в одному із фокусів яких знаходиться Сонце.

2 закон: Рух планет відбувається таким чином, що радіус-вектор, проведений від центру Сонця до планети, за рівні проміжки часу описує рівні площі.

3 закон: Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих півосей еліпсів орбіт. Т1222=R 12/R 22

4.Закони збереження в механіці.

5. Неінерціальні системи відліку. Сили інерції, які діють на рухомі і нерухомі тіла в неінерціальних системах відліку, які рухаються поступально і обертаються.

Сили інерції, які діють на нерухомі і рухомі тіла в обертових неінерціальних системах відліку. Сила Коріоліса.

Закони Ньютона виконуються тільки в інерціальних системах відліку. Відносно всіх інерціальних систем дане тіло рухається з однаковим прискоренням . неінерціальна система відліку рухається відносно інерціальних систем з деяким прискоренням, тому прискорення тіла в неінерціальній системі відліку буде відмінно від . Позначимо .

Для інерціальної системи відліку, яка рухається поступально, буде однакове для всіх точок простору ( ) і являє собою прискорення неінерціальної системи відліку. Для неінерціальної системи відліку, яка обертається, в різних точках простору буде різне ( ).

Згідно другого закону Ньютона , де - результуюча всіх сил, обумовлена дією на дане тіло збоку інших тіл. Тоді прискорення тіла відносно деякої неінерціальної системи відліку: . Звідси випливає, що навіть при тіло буде рухатися по відношенню до неінерціальної системи відліку із прискоренням , тобто так, ніби на нього діє сила .

О тже, при описі руху в неінерціальних системах відліку можна користуватися рівняннями Ньютона, якщо поряд із силами, зумовленими взаємодією тіл одне на одного, враховувати так звані сили інерції: . Відповідно рівняння для другого закону Ньютона в неінерціальних системах відліку буде мати вигляд: .

Силу інерції, яка виникає в системі відліку яка обертається, наз. відцентровою силою інерції:

Відцентрова сила інерції ,

,

Залежність (прискорення вільного падіння) від географічної широти – це наслідок

Якщо положення тіла, що знаходиться в системі координат яка обертається характеризується радіус-вектором , то

При русі тіла відносно системи відліку яка обертається виникає ще одна сила, яка наз. силою Коріоліса.

Н ехай є інерціальна система відліку, яка обертається з =соnst. = соnst відносно неінерціальної системи відліку. Якщо б тіло було нерухоме, то за ∆t воно б перейшло в т. А . Якщо б це тіло рухалось прямолінійно рівномірно відносно інерціальної системи відліку, то за ∆t воно б перейшло в т. В , але насправді воно переходить в т. D, оскільки не може рухатись рівномірно. ∆S= А В ∆φ=АВ = 2

∆S 2/2 2/2= 2

ак=2 - королівське прискорення

к=2 - сила Коріоліса

6.Момент сили, момент імпульсу, момент інерції. Основне рівняння динаміки обертового руху тіла навколо осі.

Нехай матеріальна точка рухається обертово під дією сил, рівнодійна яких = Положення точки відносно початку відліку визначається радіус – вектором

Тоді під моментом сили розуміють:

Момент імпульсу відносно точки, що є початком відліку, наз. величина N= Р. = . Зміна моменту імпульсу з часом =М – р-ня моментів. Система матеріальних точок – це сукупність скінченного числа матеріальних точок, положення, яких може змінюватись з часом. На систему матеріальних точок можуть діяти зовнішні і внутрішні сили. Вважається, що дія внутрішніх сил підпорядковується 3-ому закону Ньютона і їх сума =0.

Можна визначити суму моментів імпульсів для всіх точок

М=∑ Мі= ∑ Р=∑ Рі= ∑

Момент сили та імпульсу є векторами відносно точки, але є скалярами відносно осі обертання.

Нехай задано систему матеріальних точок, що проходить через центр. ω=соnst для всіх точок.

Nі= Р= ω і і2. Ведемо момент інерції І= і і2

=М. Якщо віддаль між точками не змінюється, то І буде постійним: =М, тут

І= - основне р-ня динаміки обертового руху навколо осі.

7.Гармонічні коливання. Рівняння гармонічних коливань. Частота власних коливань. Повна енергія гармонічних коливань.

Якщо на тіло діє сила, і тіло при цьому може деформуватися то ця сила є силою пружності Fпр=kx.

Поряд із пружною розглядають квазіпружну силу (по природі не є пружною, але по залежності цієї сили від зміщення вона така як і пружна). Прикладом є така сила, що повертає у положення рівноваги математичний маятник: F=-mgsinα. Під дією пружних або квазіпружних сил тіло може здійснювати коливання.

Рівняння руху для матеріальних точок:

Так як k>0, m>0, то -власна частота коливань.

+ - рівняння руху гармонічного осцилятора.

Його розв’язком є x=αcos(ωt+α)

x=αsin(ωt+α') – рівняння гармонічних коливань.

Гармонічні коливання – це періодичний процес, при якому зміна величини зміщення з часом відбувається по закону сos або sin при постійному значенні амплітуди.

Зміщення будуть повторюватися з періодом (якщо α=0),

, де ω- циклічна частота.

Коливання, що здійсн. під дією внутрішніх сил, наз. власними коливаннями. Якщо зміщення дуже малі, то власні коливання називаються гармонійними коливаннями.

1). Пружний маятник – рівняння руху пружного маятника.

2). Математичний маятник: m

3) фізичний маятник: M=Iβ; M=Fa=-mgasinα

;

- приведена довжина.

Енергія гармонічних коливань:

→ < K > = <U > = - середнє значення кінетичної і потенціальної енергії.

Повна енергія гармонічних коливань:

– повна енергія гармонічних коливань не залежить від часу Е=сonst.

8.Постулати спеціальної теорії відносності. Перетворення Лорентца. Кінематичні наслідки з перетворень Лорентца.

Теорія відносності – це фізична теорія, що описує універсальні просторово-часові власт. фіз. процесів. Ця теорія справедлива для процесів і наз. загальною теорією відносності або теорією тяжіння, оскільки відповідно цій теорії власт. простору – часу в даній області визначаються діючими в ній полями тяжіння.

Спеціальна теорія відносності – це частковий випадок загальної теорії відносності, коли можна знехтувати полями тяжіння. Основи цієї теорії було закладено Ейнштейном у 1905. Ця теорія ґрунтується на двох принципах відносності. 1. Усі процеси природи відбув.однаково в інерціальній системі відліку. Це означає, що в усіх інерціальних системах фізичні закони мають однакову форму. Ейнштейн сказав, що немає ніякої різниці між станом спокою і рівномірного прямолінійного руху. 2. Швидкість світла у вакуумі однакова для всіх інерціальних систем відліку. Вона не залежить ні від швидкості джерела, ні від швидкості приймача світлового сигналу.

З постулатів випливає, що швидкість світла у вакуумі є mах можливою швидкістю передавання взаємодій у природі.

Виходячи з 2-ох постулатів Лоренц вивів координатні перетворення при V~с.

Нехай є 2 системи, одна з яких К-нерухома, а інша К' – рухома, у яких в момент часу t0 початки коор. співпадають. Нехай система К' може рухатися зі V~с і V=соnst в сторону вісі Ох. В початку коор. системи К знах. джерело світла. В момент часу t спалахує світловий сигнал і в цей момент часу t= t ' система К' починає рухатись зі швидкістю V. Тоді в просторі буде розповсюджуватися сферична ел. магн.хвиля радіусом r = сt. Рівняння сфери х2 +y2 +z22t2 . Для спостерігача, який знах. в системі К' фронт хвилі буде сферичний, тому що швидкість світла не залежить ні від джерела ні від швидкості V. х'2 +y'2 +z'22t'2. Скористаємося перетв. Галілея х'=х-Vt Підставивши у попередній вираз отр.

y'=у х2-2Vхt+ V2t2 +y2 +z22t2 . Порівнюючи цей

z'= z вираз зрівнянням сфери одразу видно, що

t'= t вони не рівні. Лоренц ввів такий зв'язок між х і t:

х'=х-Vt Запишем перетворення, що повязують між

y'=у собою координати систем, які рухаються

z'= z одна відносно одної зі швидкістю V -

t'= t – отримаєм так звані перетворення Лоренца:

Висновки: 1.перетворення Галілея є граничним х'=

випадком перетворень Лоренца. Нехтуючи y'=у

доданком отримаєм перетворення z'= z

Лоренца; 2. Швидкості більшої за с не існує. t'=

Наслідки перетворень Лоренца:

1.Відносність одночасності і принцип причинності

Дві події в рухомих системах відліку відбуваються не одночасно. Отже одночасність – поняття відносне, а не абсолютне. Всяка подія є наслідком події, яка раніше відбувалась і яка є причиною події, яку ми розглядаєм.

2.Скорочення довжини і зміна форми рухомого тіла

L=l0 Чим більша швидкість, тим менший буде розмір рухомого тіла. Розмір міняється тільки в напрямку руху, а значить і форма буде змінюватися вздовж напрямку руху.

3.Сповільнення темпу ходу рухомого годинника

∆ t' =∆t Якщо розглядати дві системи К і К', одна з яких рухається зі V~с, то проміжок часу в системі К стає меншим за проміжок часу в системі К'. Це означає, що подія всистемі К' відбувається повільніше, ніж в системі К. Тобто темп ходу годинника сповільнюється.

9.Основи релятивістської динаміки. Релятивістське рівняння руху. Робота сили в релятивістському випадку. Взаємозв’язок маси і енергії.

10.Рух рідин і газів. Рівняння неперервності. Рівняння Бернуллі як закон збереження енергії в гідродинаміці.

Для опису руху рідини можна задати положення кожної частинки як функцію часу. Такий спосіб опису розроблювався Лагранжем. Але оскільки часток дуже багато, то знайти залежність координат від часу дуже важко. Можна також слідкувати не за частинками рідини, а за окремими точками простору і відмічати швидкість, з якою проходять через кожну точку окремі частинки рідини. Цей спосіб називається методом Ейлера.

С тан рідини можна визначити, вказавши для кожної точки простору вектор швидкості як функцію часу. Сукупність векторів , заданих для всіх точок простору і утв. так зване поле вектора швидкості, яке можна зобразити наступним чином. Проведемо в рідині, яка рухається, лінії так, щоб дотична до напрямку з вектором . Ці лінії наз. лініями струму. Їх проводять так, щоб густина їх була пропорційна величині швидкості в даному місці.

Якщо вектор швидкості в кожній точці простору залишається постійним, то течія наз. стаціонарною. При стаціонарній течії точка рідини проходить дану точку простору з однаковим значенням . Картина ліній струму залишається незмінною, і лінії струму співпадають з траєкторіями часток.

Частина рідини, обмежена лініями струму наз. трубкою струму. Частинки рідини при своєму русі не перетинають стінок трубки струму.

В ізьмемо перпендикулярний до напрямку переріз трубки струму s (рис. 1). Нехай швидкість руху часток рідини однакова у всіх точках цього перерізу. За час через s пройдуть всі частинки, відстань яких від s не перевищувала . Тобто за одиницю часу переріз s пройде об’єм рідини рівний sv. Візьмемо тонку трубку струму, щоб в кожному її перерізі швидкість була постійною. Якщо рідина є нестисливою (густина її скрізь однакова) то к-ть рідини між перерізами s1 і s2 (рис.2) буде постійною. Тоді об’єми рідини, що протікають за одиницю часу через перерізи s1 і s2 повинні бути однакові:

або

Для нестисливої рідини величина sv в довільному перерізі однієї і тієї ж трубки струму є постійною. Це суть теореми про нерозривність струмини або закон постійності потоку маси. Це теорема застосовується до рідин і до газів, якщо їх можна вважати нестисливими.

Рідина в якій внутрішнє тертя (в’язкість) повністю відсутня, називається ідеальною.

Виділимо в стаціонарно текучій рідині (ідеальній) трубку малого перерізу. Розглянемо об’єм, обмежений перерізами s1 і s2. За час цей об’єм переміститься в здовж трубки, причому переміститься в положення , пройшовши шлях , а s2 - в , пройшовши шлях . В силу нерозривності струмини заштриховані об’єми однакові: ∆V1=∆V2=∆V

Е кожної частки рідини скл. з її Ек в полі сил земного тяжіння. Приріст енергії ∆Е всього об’єму, який розглядається, рівний різниці енергії об’ємів ∆V1 і ∆V2. Візьмемо перерізи і відрізки ∆l такими малими, щоб у всіх точках ∆V1 і ∆V2 можна було вважати однаковими v, тиск р і висоту h. Тоді :

ρ – густина рідини.

В ідеальній рідині тертя відсутнє. Тому ∆Е повинно бути рівним роботі сил тяжіння над виділеним об’ємом:

Прирівнявши останні два вирази:

Оскільки s1 і s2 вибрані , то можна говорити, що: в стаціонарно текучій ідеальній рідині вздовж будь-якої лінії струму виконується умова:

– рівняння Бернулі.

Це рівняння справедливе і для реальних рідин, в яких внутрішнє тертя не дуже велике. Р-ня – це закон збереження енергії рідини.

р – статичний тиск рідини (тиск молекул на стінки посудини); ρgh – гідростатичний тиск (він рівний нулю, якщо трубка горизонтальна).