31. Символічний метод розрахунку кіл синусоїдного струму.

Дуже широке розповсюдження на практиці отримав символічний, або комплексний, метод розрахунку кіл синусоїдального струму.

Сутність символічного методу розрахунку полягає в тому, що при синусоїдальному струмі можна перейти від рівнянь, складених миттєвих значень і, які є диференційними рівняннями, до алгебраїчних рівнянь, складених відносно комплексів струму і е.р.с. Цей перехід оснований на тому, що в рівнянні, складеному за законом Кірхгофа для усталеного процесу, миттєве значення струму замінюється комплексною амплітудою струму миттєве значення напруги на активному опорі – комплексом по фазі співпадаючим зі струмом миттєве значення напруги на індуктивності – комплексом що випереджає струм на 90°; миттєве значення напруги на ємності – комплексом що відстає від струму на 90°; миттєве значення е.р.с. – комплексом

Амплітуда напруги на індуктивності рівна добутку амплітуди струму на Множник вказує на те, що вектор напруги на індуктивності випереджає вектор струму на 90°.

Аналогічно, що амплітуда напруги на ємності рівна амплітуді струму, помноженій на Відставання напруги на ємності від струму, що по ній протікає, на 90° пояснюється наявністю множника .

Рис. 31.1

Наприклад, для схеми рис. 31.1 рівняння для миттєвих значень можна записати так:

або

(31.1)

Запишемо його в комплексній формі:

Винесемо за дужку:

(31.2)

Відповідно, для схеми рис. 31.1

(31.3)

Це рівняння дозволяє знайти комплексну амплітуду струму через комплексну амплітуду е.р.с. і опір і

Метод називають символічним тому, що струм і напруга замінюються їх комплексним зображенням чи символами. Так, – це зображення або символ спаду напруги – це зображення або символ спаду напруги на індуктивності – це зображення або символ спаду напруги на кондесаторі

32. Комплексний опір.

Добуток в рівнянні являє собою комплекс, має розмірність опору і позначається через . Його називають комплексним опором:

(32.1)

Як і всякий комплекс можна записати в показниковій формі. Модуль комплексного опору прийнято позначати через . Точку над не ставлять, тому що прийнято ставити її тільки над такими комплексними величинами, які відображають синусоїдальні функції часу.

33. Закон Ома для кола синусоїдного струму.

Рівняння можна записати так: . Розділимо обидві частини на і перейдемо від комплексних амплітуд і до комплексних діючих значень і :

(33.1)

Рівняння 33.1 являє собою закон Ома для кола синусоїдального струму.

В загальному випадку має деяку дійсну частину і деяку уявну частину

(33.2)

де – активний опір; – реактивний опір;

Рис. 31.1

Для схеми рис.33.1 реактивний опір

(33.3)

КОРЖАК Ю.В

Комплексна провідність.

Під комплексною провідністю Y розуміють величину, зворотну комплексному опору Z:

Вимірюють комплексну провідність в Ом^-1 або сименсах (См). дійсну частину її позначають через g, уявну через b. Оскільки

То

.

Якщо Х позитивно, то і b позитивно, при Х негативному b також негативно.

При використанні комплексної провідності закон Ома записують так: или где активна складова струму; реактивная складова струму; напруга на ділянці ланцюга, опір короткого рівна Z.

Трикутник опорів і трикутник провідностей

Із витікає, що модуль комплексного опору .

Отже, z можна представити як гіпотенузу прямокутного трикутника – трикутника опорів, один катет якого рівний До, інший Х. при цьому .

Аналогічним чином модуль комплексної провідності у відповідності с . отже, в є гіпотенуза прямокутного трикутника, катетами якого являються активна g і реактивна b провідності: .

Трикутник опорів дає графічну інтерпретацію зв'язку між модулем повного опору z і активним і реактивним опорами ланцюгу; трикутник провідності – інтерпретацію зв'язку між модулем повної провідності в і її активною і реактивною складовими.

Зображення різниці потенціалів на комплексній площині

Потенціали кола змінного струму є комплексними числами. На комплексній плоскості комплексне число можна зображати або крапкою, координати якої дорівнюють дійсній і уявній частинам комплексного потенціалу, або вектором, направленим від початку координат до даної точки плоскості.

На рис. Зображено два вектора, які зображають собою комплексні потенціали: і .

За визначенням, різниці потенціалів ; зобразиться вектором, напрямленим від b до a. Перший індекс в напруги ( у нашому прикладі індекс а) вказує, до якої крапки слід направити стрілку вектора напруги. Природно, що

Топографічна діаграма.

Кожна точка електричної схеми, в якій з'єднуються елементи схеми, має своє значення комплексного потенціалу.

Сукупність точок комплексної плоскості, що змальовують комплексні потенціали однойменних точок електричної схеми, називають топографічною діаграмою.

Термін топографічна обьясняєтся тим, що діаграма нагадує топографічну карту місцевості, де кожній точці місцевості відповідає певна точка карти. Відстань між двома крапками на місцевості можна визначити, вимірявши відстань між однойменними крапками на карті.

Аналогічним виміри можна проводити і на топографічній діаграмі. Напруга між будь-якими двома крапками електричної схеми, наприклад між крапками а і b, за значенням і напряму визначається вектором проведеним на топографічній діаграмі від точки b до крапки а.

При побудові топографічної діаграми, як і потенційною, потенціал будь-якої точки схеми може бути прийнятий рівним нулю. На діаграмі цю крапку поміщають в початок координат. Тоді положення останніх точок схеми на діаграмі визначається параметрами ланцюга, ЕДС і струмами гілок.

Активна, реактивна і повна потужності в колі синусоїдного струму

Під активною потужністю Р розуміють середнє значення миттєвої потужності р за період Т:

_{Якщо струм напруга на ділянці кола , то}

Активна потужність фізично є енергією, яка виділяється в одиницю часу у вигляді теплоти на ділянці ланцюга в опорі R. Дійсно, вираз . Отже,

Одиниця активної потужності - Вт. Під реактивною потужністю Q розуміють твір напруги U наділянці ланцюга на струм I по цій ділянці і на синус кута між напругою U і струмом I.

Одиниця реактивної потужності - вольт-ампер реактивний (Вар). Якщо

Повна потужність

Одиниця повної потужності – ВА

Потужність P,Q і S зв’язана наступною залежністю:

Графічно цей зв'язок можна представити у виглядіпрямокутного трикутника - трикутника потужності, у якогоє катет, рівним Р, катет, рівний Q, і гіпотенуза S. На щитку будьякого джерела електричної енергіїзмінного струму(генератора, трансформатора і так далі)вказується значення S, що характеризує ту потужність,якою це джерело може віддавати споживачеві, якщоостанній працює при

Вираження потужності в комплексній формі запису.

Нехай заданий деякий комплекс 

Під комплексом  , зв'язаним з комплексом  А,розумітимемо

Розглянемо  простий прийом  визначення активною  і реактивною потужностей  через комплекс  напруги і сполучень  комплекс  струму.  Напруга  на  деякій  ділянці кола ,  струм по цій ділянці  . Кут між напругою і струмом . Помножимо комплекс напруги на зв'язаний  комплекс струму  і позначимо  отриманий  комплекс  через S:

Значок ~ (тильда) над S означає комплекс (а не зв'язаний комплекс) повної потужності,  складений  при  долі зв'язаного  комплексу струму .

Таким чином, активна потужність Р є дійсна частина (Re), а реактивна потужність Q - уявна частина (Im) виразу :

Вимірювання з потужності ватметром

Вимір потужності виробляють зазвичай за допомогою ватметра електродинамічної системи, в якому є дві котушки, - нерухома і рухома.

Рухома котушка, виконана з дуже тонкого дроту, має практично чисто активний опір і називається паралельною обмоткою. Її включають паралельно ділянці ланцюга подібно до вольтметра. Що жорстко скріпляє із стрілкою (покажчиком), вона може обертатися в магнітному полі, що створюється нерухомою котушкою.

Нерухома котушка, виконана з досить товстого дроту, має дуже малий активний опір і називається послідовною обмоткою. Її включають в ланцюг послідовно, подібно до амперметра.

Ціна ділення ватметра визначається як приватне від ділення твору номінальної напруги на номінальний струм (вказують на ліцової стоороне приладу) на число ділень шкали.

Резонанс струмів. Резонанс напруг

Явище резонансу в схемі утворене двома паралельними гілками з різнохарактерними реактивними опорами, називають резонансом струмів.

Хай перша гілка містить активний опір і індуктивне , а друга гілка – активне і ємкісне .

Струм в першій вітці відстає від напруги і може бути записаний як:

Струм у другій вітці випереджає напругу:

Струм в нерозгалуженій частині кола:

За визначенням резонансного режиму струм повинен збігатися по фазі з напругою. Це буде за умови, що сума реактивної провідності віток дорівнює нулю:

Резонанс напруги

Резонанс в схемі послідовного з'єднання R,L,C називають резонансом напруги.

При резонансі струм в колі повинен збігатися по фазі з ЕРС Е. Це можливо, якщо вхідний опір схеми буде чисто активним. Умова настання резонансу в схемі , де - резонансна частота.

При цьому . Напруга на індуктивному елементі при резонансі рівна напрузі на ємкості. .

Відношення називають добротністю резонансного контура. Добротність показує, в скільки разів напруга на індуктивному (ємнісному) елементі перевищує напругу на вході схеми в резонансному режимі. В радіотехнічних приладах Q може доходити до 300 і більше.

Характеристичним опором q для схеми називають відношення напруги на L і C в режимі резонансу до струму в цьому режимі: .

Компенсація зсуву фаз

Вхідний опір більшості споживачів електричної енергії має індуктивний характер. Для того, щоб зменшить споживаний ними струм за рахунок зниження його реактивної складової і тим понизити втрати енергії в генераторі і дротах, що підводять, паралельно приймачу енергії включають батарею конденсаторів.

Зменшення зрушення фаз між напругою на приймачі і струмом, споживаним від генератора називають компенсацією зрушення фаз. Компенсація зрушення фаз істотна для енергоємних споживачів, наприклад крупних заводів. Здійснюється вона в місці введення лінії живлення в розподільному пристрої. Економічно вигідно підключати конденсатори на можливо вищу напругу (струм через конденсатори ). Кут зрушення фаз між напругою і струмом, споживаним від джерела живлення, зазвичай доводять до значення, при якому

Теорема про баланс активних та реактивних потужностей.

У будь-якому лінійному електричному ланцюзі сума активних потужностей джерел ЕРС дорівнює сумі активних потужностей приймачів енергії.

Нехай схема містить f вузлів, b віток і всі вітки або частина їх зв'язані один з одним магнітно. По першому закону Кирхгофа сума струмів в будь-якому вузлі дорівнює нулю. Наприклад, для k-вузла, в якого сходяться n-вітки, або .

Помножимо кожен доданок цієї суми на потенціал k-вузла

Підсумуємо аналогічні вирази для всіх f- вузлів схеми

Закони Кірхгофа в символічній формі запису

По першому закону Кирхгофа, сума алгебри миттєвих значень струмів, що сходяться в будь-якому вузлі схеми, дорівнює нулю: . (1)

Підставивши замість в (1) і винісши за скобу, отримаємо . Так як не дорівнює нулю при будь-якому , то .(2)

Рівнянням (2) є перший закон Кирхгофа в символічній формі запису.

Для замкнутого контура скільки завгодно складному електричному ланцюгу синусоїдального струму можна скласти рівняння по другому закону Кирхгофа для миттєвих значень струмів, напруги і е.д.с.

Хай замкнутий контур містить n віток і кожна к-вітка в загальному випадку включає е.р.с. , активний опір , індуктивність і ємкість , по яких протікає струм . Тоді по другому закону Кирхгофа

(3)

Але кожен доданок лівої частини рівняння можна замінити на , а кожен доданок правої частини – на . Тому рівняння (3) переходить в

(4)

Рівнянням (4) є другий закон Кирхгофа в символічній формі запису.

КУБІВ В.В