23. Комплексна амплітуда

На рис. 23.1. дана комплексна площина, на якій можна зобразити комплексне число. Комплексне число має дійсну і уявну частину. По осі абсцис комплексної площини відкладається дійсну частину Комплексного числа, а по осі ординат – уявну. На осі дійсних значень ставимо +1, а на осі уявних значень .

Рис. 23.1

З курсу математики відома формула Ейлера

(23.1)

Комплексне число зображають на комплексній площині вектором, чисельно рівним одиниці і який, складає кут з віссю дійсних значень (віссю +1). Кут відраховуємо проти годинникової стрілки від осі +1. Модуль функції

Проекція функції на вісь +1 рівна а на вісь рівна . Якщо замість функції взяти функцію то

На комплексній площині ця функція, також як і функція зображується під кутом до вісі +1, але величина вектора буде в раз більше.

Кут у формулі (23.1) може бути любим. Допустимо, що тобто кут змінюється прямо пропорційно часу. Тоді

(23.2)

Доданок являє собою дійсну частину (Re) виразу

(23.3а)

а функція є коефіцієнтом при уявній частині виразу

(23.3б)

Таким чином, синусоїдально змінний струм можна представити як або, що те ж саме, як проекцію вектора, що обертається на вісь (рис 23.2).

Рис. 23.2

З метою уніфікації прийнято на комплексній площині зображати вектори синусоїдальних змінних у часі величин для моменту часу . При цьому вектор рівний

(23.4)

де – комплексна величина, модуль якої рівний а кут, під яким вектор проведений до осі +1 на комплексній площині, рівний початковій фазі

Величину називають комплексною амплітудою струму . Комплексна амплітуда зображає струм на комплексній площині для моменту часу .

24. Комплекс діючого значення

На рис. 24.1. дана комплексна площина, на якій можна зобразити комплексне число. Комплексне число має дійсну і уявну частину. По осі абсцис комплексної площини відкладається дійсну частину Комплексного числа, а по осі ординат – уявну. На осі дійсних значень ставимо +1, а на осі уявних значень .

Рис. 23.1

З курсу математики відома формула Ейлера

(24.1)

Комплексне число зображають на комплексній площині вектором, чисельно рівним одиниці і який, складає кут з віссю дійсних значень (віссю +1). Кут відраховуємо проти годинникової стрілки від осі +1. Модуль функції

Проекція функції на вісь +1 рівна а на вісь рівна . Якщо замість функції взяти функцію то

На комплексній площині ця функція, також як і функція зображується під кутом до вісі +1, але величина вектора буде в раз більше.

Кут у формулі (23.1) може бути любим. Допустимо, що тобто кут змінюється прямо пропорційно часу. Тоді

(24.2)

Доданок являє собою дійсну частину (Re) виразу

(24.3а)

а функція є коефіцієнтом при уявній частині виразу

(24.3б)

Таким чином, синусоїдально змінний струм можна представити як або, що те ж саме, як проекцію вектора, що обертається на вісь (рис 24.2).

Рис. 24.2

З метою уніфікації прийнято на комплексній площині зображати вектори синусоїдальних змінних у часі величин для моменту часу . При цьому вектор рівний

(24.4)

де – комплексна величина, модуль якої рівний а кут, під яким вектор проведений до осі +1 на комплексній площині, рівний початковій фазі

Величину називають комплексною амплітудою струму . Комплексна амплітуда зображає струм на комплексній площині для моменту часу .

Під комплексом діючого значення струму, чи під комплексом струму (комплексним струмом), розуміють частку від ділення комплексної амплітуди на

(24.5)