Типы моделей

Модель объекта определяется в виде дифференциального уравнения. Причем вид уравнения зависит от вида кривой разгона.

Уравнение объекта берётся в виде:

8. a₃y^'''+a₂y^''+a₁y^'+y=x, (1)

если кривые разгона объекта имеют вид:

9. a₃y^'''+a₂y^''+a₁y^'+y=b₁x^'+x, (2)

если кривые разгона объекта имеют вид:

10. a₃y^'''+a₂y^''+a₁y^'+y=b₁x^', (3)

если кривая разгона объекта имеет вид:

Модель первого типа

Передаточная функция системы первого типа:

, (4)

Представим структуру системы в виде последовательного соединения двух звеньев. Первое звено – апериодическое, а второе – в общем случае звено II-го порядка.

Приравняв исходную ПФ и полученную для последовательного соединения двух звеньев, легко установить связь между их коэффициентами:

; ;; (5)

Так как звенья включены последовательно, то при подаче на вход воздействия в виде единичного скачка 1(t), вход во второе звено, равный выходу первого, определяется, как y_пр=1-exp(-α₁t), а выход второго звена будет представлять собой кривую разгона объекта.

Дифференциальное уравнение объекта можно записать:

ay^''+by^'+y=1-exp(-α₁t). (6)

Выразим b. Известно, что в точке перегиба графика функции вторая производная равна 0: y^''(t_п)=0. Тогда для момента времени, соответствующего точке перегиба (см. рисунок), уравнение (6) запишется:

a*0+b*y^'(t_п)+y(t_п)=1-exp(-α₁t_п),

откуда получим:(7)

Для нахождения неизвестных коэффициентов a и α₁ запишем (6) в виде: ay^''+by^'+exp(-α₁t)=1-y, (8).

Проинтегрируем (7) в пределах [t₁;t₂]:

(9)

S₁,₂ – площадь, ограниченная линией установившегося значения у, кривой разгона и вертикалями в точках t₁ и t₂:

В уравнении (9) возьмём в качестве пределов интегрирования t₁=0, t₂= ∞. Тогда, учитывая, что:

y(0)=0; y^'(0)=0; y(∞)=1; y^'(∞)=0, получим:

(10)

S_0∞ - это площадь над кривой разгона для t₁=0 и t₂= ∞, то есть во всем диапазоне наблюдения.

Уравнения (7) и (10) образуют систему с двумя неизвестными: b и α₁. Решая эту систему (численно, графически, с помощью номограмм) мы можем определить значения этих коэффициентов.

Возьмём в (9) t₁=t_n, t₂=∞.Учитывая, что y(∞)=1; y^'(∞)=0, S_n∞ - площадь над кривой разгона для t₁=t_n и t₂= ∞ получим:

(11)

Подставляя значения a, b и α₁ в (5), получим значения коэффициентов a₃, a₂, a₁.

Достоинством этой методики является тот факт, что мы можем получить аналитическое выражение переходной функции, решить обратную задачу и оценить точность идентификации. Решение уравнения (6) может быть использовано для проверки соответствия найденных коэффициентов.

Решение дифференциального уравнения складывается из суммы общего решения однородного уравнения ay^''+by^'+y=0 и частного решения неоднородного.

Частное решение неоднородного уравнения имеет вид

, где (12)

Общее решение однородного уравнения зависит от корней характеристического уравнения:

ar²+br+1=0.

Варианты значений корней:

11. Вещественные неравные корни: r₁=α₂, r₂=α₃

, (y₀ - решение общего однородного уравнения)

где ; (13)

12. Вещественные равные корни: r₁=r₂= -α₂

; (14)

13. Комплексные корни:

; (15)

Модель второго типа

Системе с кривой разгона второго типа соответствует передаточная функция:

(16)

Для определения коэффициентов этого уравнения объект заменяется последовательным соединением двух звеньев – интегро-дифференцирующего и звена второго порядка:

При подаче на вход первого звена единичного возмущения x(t)=1(t), выход звена , где δ=α₁b₁-1. Кривые разгона в этом случае являются решениями дифференциального уравнения:

или (17)

Учитывая, что в точке перегиба(t=t_n) y^''(t_n)=0, уравнение (17) преобразуется к виду:

(18)

Интегрируя (17) в пределах от t₁ до t₂ получим:

(19)

При t₁=0 и t₂=∞ с учётом того, что y(0)=0, y^'(0)=0, y(∞)=1, y^'(∞)=0,уравнение (19) превращается в уравнение:

(20)

При t₁=t_m, и t₂=∞ уравнение принимает вид:

(21)

Совместно решая уравнения (20) и (21), получим:

(22)

Из (18) и (20) получим: (23)

Коэффициенты b и α₁ находят из совместного решения уравнений (22) и (23) или с помощью номограмм, построенных по этим формулам. Подставляя b и α₁ в (20) определяют значение δ=α₁*(b-S_0∞). Значение а вычисляют по формуле:

(24)

Коэффициенты a₁, a₂, a₃ определяют из соотношений (5). Значение b₁ определяют, выразив b₁=(1+δ)/α₁.

Уравнения для кривых разгона, по которым можно проверить правильность решения выражаются формулами (13), (14) и (15) причём С₂ и С₃ находят по тем же формулам, а С₁ – по формуле:

. (25)