Задачи идентификации

Задача идентификации состоит в установлении математических соотношений между измеряемыми входами и выходами при заданных их измерениях во времени (Идентификация в широком смысле).

Определение параметров заданной математической модели по результатам измерений вход-выход также называют задачей идентификации (в узком смысле).

Общая формулировка задачи.

Наблюдается: вектоp z(t), возмущенный шумом вариант вектора состояния системы x(t), входной сигнал u(t) и внешнее возмущение w(t) причем

z(t)=h[x(t), u(t), w(t), p(t), v(t), t]

p(t) - неизвестные параметры системы

v(t) - вектор ошибок измерений

Предполагается, что вектор состояния описывается стохастическим дифференциальным уравнением

dx(t)/dt = f [x(t), u(t), w(t), p(t), t]

порядок системы обычно известен заранее.

Решение задачи идентификации должно включать определение оценки вектора неизвестных параметров p(t).

В качестве неизвестных параметров могут быть коэффициенты дифференциальных уравнений, средние значения и дисперсии входного шума w(t) и ошибки измерения v(t).

Выделим некоторые подклассы общей задачи идентификации

1. Идентификация без помех (отсутствуют шумы w(t) и v(t)). Известен вход u(t) и точные наблюдения вектора состояния x(t).

2. Модели наблюдений и системы принимаются линейными.

3. Входной шум w(t) – ненаблюдаем.

При классическом подходе к созданию системы уравнений идентификация осуществляется на этапе еще проектирования системы.

Обычно в высокоорганизованных системах уравнений необходима повторная периодическая или непрерывная в реальном масштабе времени идентификация, чтобы обеспечить адаптацию системы в условиях изменения внешних воздействий и параметров системы.

Таким образом, существует два подхода к решению проблемы идентификации:

• в реальном масштабе времени (по каждому замеру)

• вне контура управления (пакетное представление информации).

2. Классификация методов идентификации

1. Различают методы идентификации:

• активные;

• пассивные;

2. По виду объекта:

• статические;

• динамические;

• линейные;

• нелинейные;

• одномерные;

• многомерные;

• стационарные;

• нестационарные;

3. По форме представления модели:

• с дифференциальными уравнениями;

• в виде передаточных функций;

• в виде функций разложения;

4. По виду информации, используемой в методе идентификации:

• прямой;

• косвенный;

5. В зависимости от принятого критерия:

• использующие минимальное СКО выхода объекта и модели;

• с использованием МНК и его модификаций;

• с использованием критерия максимального правдоподобия;

• с минимальным средним риском;

В литературе есть и другие способы классификации.

Таким образом, для того, чтобы решить задачу идентификации нужно:

• определить класс объекта;

• выбрать модель;

• выбрать критерий близости объекта и модели;

• сформулировать алгоритм.

3. Основные типы моделей в теории идентификации

В курсе теории идентификации рассматриваются модели, которые используются при анализе и синтезе различных САУ.

Все модели можно разделить на классы:

1. Модели для описания непрерывных систем

1. Линейные дифференциальные уравнения

2. Передаточные функции

, n≥m

3. Модель в пространстве параметров состояния

,

где

U - вектор входа

x - вектор переменных состояния

y - вектор выхода системы

А - матрица динамики системы

В - матрица управления

С^T - матрица измерения (датчиков)

2. Модели для описания дискретных систем

1. Линейные разностные уравнения

a_ny(n-k)+a_n-1y(n-k-1)+a₁y(n-k-N)+a₀=

=b_mU(m-k)+b_m-1U(m-k-1)+…+b₁U(m-k-M)+b₀

N-порядок разностного уравнения

2. Дискретные передаточные функции

3. Модель в пространстве параметров состояния

x(k+1)=A*x(k)+B*U(k)

y(k)=C^т*x(k)

3. Модели для описания нелинейных систем

u(t)=δ(t) y(t)=ω(t)

4. Стохастические модели

Модель нелинейной системы с использованием ядер Вольтера

При рассмотрении явлений в моделях с шумами принято оценивать влияние шумов на процесс идентификации путем использования понятий авто - и взаимно - корреляционной функций. Оценку влияния шумов можно производить, если процесс описания шумов описать следующим уравнением:

R_uu-автокореляционная функция входного сигнала

R_uy-взаимнокореляционная функция входного и выходного сигнала

Если u(t) – это случайный стационарный процесс и y(t) тоже, то, применяя эти понятия не учитывают, что R_uu и R_uy позволяют оценить величину случайной составляющей, то, решая это интегральное уравнение мы можем получать оценки с учетом помех входа и выхода. Задача имеет решение при условии, что входной сигнал можно измерять “абсолютно” точно, а выходной сигнал содержит все аддитивные составляющие помехи.