1.3. Свойства некоторых углов

1.3.1. Теорема о трёх косинусах.

Пусть α – угол между наклонной l и её проекцией на плоскость τ,

β – угол между проекцией наклонной l на плоскость τ и прямой р,

проведённой через основание наклонной l в плоскости τ,

γ – угол между наклонной l и прямой р (рис. 183).

Тогда справедливо следующее равенство:

cos γ = cos α ∙cos β.

1.3.2. Теорема о биссектрисе угла.

Для того, чтобы проекция прямой, проведённой через вершину угла, меньшего 180°, вне его плоскости являлась биссектрисой данного угла необходимо и достаточно, чтобы эта прямая составляла со сторонами угла равные острые углы.

1.3.3.Теорема о трёх синусах.

В одной из граней двугранного угла, величина которого равна α, проведена прямая l, составляющая с ребром двугранного угла угол β (0<β<90°), а с другой его гранью угол γ (рис 185 ). Тогда справедливо следующее равенство:

sin γ = sin α ∙ sin β.

1.3.4. Теорема косинусов для трёхгранного угла

Пусть α, β, γ – плоские углы трёхгранного угла, а φ – двугранный угол, противолежащий плоскому углу γ. Тогда справедливо следующее равенство

.

2. Доказательства утверждений теоретической карты №3

2.1. Теорема о трёх косинусах

Дано:

АВ – наклонная к плоскости τ,

ВО – её проекция;

р– прямая: рτ, Вр;

α – угол между наклонной АВ

и её проекцией на плоскость τ,

β – угол между проекцией

Рис. 187

наклонной АВ и прямой р,

γ – угол между наклонной АВ

и прямой р

Доказать: cos γ = cos α ∙cos β.

Доказательство.

1. Проведём ОК  р, АК.

2. Пусть АВ=х.

3. АОВ  прямоугольный: ОВ=

4. ВОК  прямоугольный: ВК=ОВcosβ, учитывая (3), ВК=

5. АВК прямоугольный: ВК=хcosγ.

6 . Из (4) и (5): хcosγ = , cosγ = .

2.2. Теорема о биссектрисе угла.

Необходимость.

Дано: АВС (АВС<180),

BD  прямая, проведённая через

вершину угла вне его плоскости,

ВО  её проекция на плоскость угла.

ВО  биссектриса АВС.

Доказать: 1 = 2.

Доказательство

П ервый способ.

1.Проведём ОМВС, ОРАВ.

Соединим точки D и M, D и P.

2. ОВМ=ОВР по гипотенузе и

острому углу: ОВ – общая, РВО=МВО

(ОВ – биссектриса).

Следовательно, ВМ=ВР.

3. DВМ и DВР – прямоугольные (по

теореме о трёх перпендикулярах)

DВМ=DВР катету и гипотенузе:

ВD – общая, ВМ=ВР (2).

Следовательно, .

Второй способ.

Воспользуемся теоремой о трёх косинусах.

1) Для наклонной DB, её проекции ОВ и прямой ВС:

.

2)Для наклонной DB, её проекции ОВ и прямой ВА:

.

Так как ОВ – биссектриса угла РВМ, то ОВМ=ОВР, следовательно, равны и косинусы этих углов, то есть cos1=cos2 и, следовательно, 1=2.

Достаточность (обратное утверждение) доказывается аналогично.