ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Т.Е. Бондаренко, А.С. Потапов

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ КАРТЫ И ЗАДАЧИ

ПО СТЕРЕОМЕТРИИ

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

УГЛЫ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ И ПЛОСКОСТЯМИ

Учебно-методическое пособие по элементарной математике

ВОРОНЕЖ ВГПУ

2011

УДК 513 (07)

ББК 22.151я7

Б81

Р е ц е н з е н т :

кандидат педагогических наук, почётный профессор Э.С. Беляева (ВГПУ)

Бондаренко Т.Е.

Б81 Теоретические карты и задачи по стереометрии: параллельность и перпендикулярность в пространстве, углы между прямыми и плоскостями: учебнометодическое пособие по элементарной математике / Т.Е.Бондаренко, А.С. Потапов.  Воронеж: ВГПУ, 2011. – 126 с.

Пособие содержит теоретические сведения по следующим темам курса стереометрии: параллельность и перпендикулярность в пространстве, углы между прямыми и плоскостями, которые представлены в форме карт – справочников. К каждой карте подобран комплекс задач, при решении которых применяются приведённые в ней факты. Задачи сопровождаются чертежами, планами решений и ответами. Пособие предназначено для методического обеспечения курса элементарной математики в педагогическом вузе. Оно может быть использовано учителями средних общеобразовательных учреждений для подготовки учащихся к единому государственному экзамену по математике или для проведения элективного курса в условиях профильного обучения.

УДК 513 (07)

ББК 22.151я7

© Бондаренко Т.Е., Потапов А.С.,2011

Предисловие

Настоящее учебное пособие является продолжением книги «Теоретические карты и задачи по планиметрии». Оно предназначено для совершенствования подготовки студентов и школьников по стереометрии. Предполагается, что курс был предварительно изучен, но либо недостаточно качественно, либо забыт. Возникает необходимость восстановить ранее полученные знания и умения за достаточно сжатые сроки. Для этого полезно обладать целесообразными дидактическими материалами. Один из возможных вариантов таких материалов предлагается читателю.

Выбор тематики пособия определялся востребованностью качественной подготовки абитуриентов и студентов по элементарной геометрии, в частности по стереометрии, и ее крайне низким уровнем.

Пособие состоит из трёх основных разделов: «Параллельность в пространстве», «Перпендикулярность в пространстве», «Углы между прямыми и плоскостями». Перечисленные темы являются основополагающими для успешного формирования умения решать стереометрические задачи.

Каждый раздел включает теоретическую карту по соответствующей теме, доказательства утверждений, содержащихся в ней, и комплекс задач, при решении которых используются утверждения из теоретической карты.

В теоретической карте сосредоточены сведения, полезные при решении задач. Так как курс стереометрии предварительно изучен, то он может быть структурно переформирован. Каждая теоретическая карта объединяет тематически однородные сведения. Содержание таких сведений подобрано из школьных учебников по геометрии [1], [2], [5], [8], [10]. Однако ряд ценных для решения задач фактов остается за пределами учебников. Поэтому в теоретические карты вошли сведения из различных учебных пособий, перечисленных в списке литературы. Так, в раздел «Углы между прямыми и плоскостями» включены базисные задачи из книги И.Г. Габовича [4].

Доказательства утверждений, содержащихся в теоретических картах, приводятся с целью их изучения. Если такие доказательства имеются в школьных учебниках, то они не рассматриваются, а сопровождаются соответствующими ссылками на литературные источники. К каждой теоретической карте предлагаются комплексы задач. Они сопровождаются чертежами, планами решений и ответами. Читателю предлагается самостоятельно найти решение, однако, в случае затруднений, он может воспользоваться приведённым планом – алгоритмом. Мы по–прежнему считаем, что накопление опыта - один из способов научиться решать задачи самостоятельно. Задачи подобраны из различных книг, перечисленных в списке литературы.

Настоящее учебное пособие может быть использовано преподавателями элементарной математики в педагогическом вузе, а также школьными учителями в процессе подготовки учащихся к единому государственному экзамену или в качестве содержательной основы элективного курса по стереометрии.

Авторы выражают благодарность всем, принявшим участие в подготовке пособия к изданию.

I. Параллельность в пространстве

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ КАРТА № 1

1.1.Параллельность прямых

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются [5, с.9], [10, с.11].

Признак параллельности прямых

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой [5, с.11], [10, с.13].

Свойство параллельных прямых

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость [5, c. 10].

a || b, а пересекает плоскость α в точке М:

прямая в пересекает плоскость α.

1.2. Параллельность прямой и плоскости

Определения

1. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек [5, с.11].

2. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют общих точек [10, с.14].

Рис.4

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна самой плоскости [5, с.12], [ 10, c.13].

Существует прямая в такая, что

в  α и в || a: a || α.

1.3. Параллельность плоскостей

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют общих точек. [5, с.20], [ 10, с.15].

Признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны [5, с.20], [10, с.15].

1.4. Дополнительные признаки параллельности прямых

1

. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой [5, с.12].

Рис. 8

2. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны [5, с.21], [10, с.17].

2. Доказательства утверждений теоретической карты №1

2.1.Параллельность прямых

Доказательство признака параллельности прямых приводится в учебниках [5, с.11], [10, с.13].

Доказательство свойства параллельных прямых приводится в учебнике [5, с.10].

2.2. Параллельность прямой и плоскости

Доказательство признака параллельности прямой и плоскости приводится в учебниках [5, с.12], [10, с.14].

2. 3. Параллельность плоскостей

Доказательство признака параллельности плоскостей приводится в учебниках [5, с.20, 21], [10, с.15].

2.4. Дополнительные признаки параллельности прямых

Доказательство первого дополнительного признака параллельности прямых приведено в учебнике [5, с.12].

Доказательство второго дополнительного признака параллельности прямых приводится в учебниках [5, с.35], [10, с.17].

3. Задачи к теоретической карте №1

3.1. Параллельность прямых

№ 1 (устно). На боковых гранях призмы отмечены точки М и N. Как через эти две точки провести два параллельных отрезка? Решить аналогичную задачу, заменив призму пирамидой.

№ 2 (устно). Дан параллелепипед. Доказать, что: а) для каждого его ребра в нём найдутся три ребра, ему параллельные (рис.13); б) для каждой диагонали его грани найдётся ей параллельная и равная диагональ в другой грани (рис. 14).

№ 3. Прямая в лежит в плоскости α и параллельна прямой а, не лежащей в этой плоскости. Через точку М плоскости α проведена прямая с, параллельная прямой а. Доказать, что прямая с лежит в плоскости α.

План доказательства.

№ 4. Даны два параллелограмма АВВ₁А₁ и АСС₁А₁ (рис. 16). Доказать,

что Δ АВС = Δ А₁В₁С₁.

План решения.

1. ВВ₁С₁С – параллелограмм.

2. Δ АВС= Δ А₁В₁С₁.

№ 5. Точка М находится вне плоскости параллелограмма ABCD. Найдутся ли параллельные средние линии у треугольников: а) МАВ и МАD;

б) МАВ и МСD?

План решения.

а)

1. Р₁- середина ребра DM,

Р₆- середина ребра DА,

Р₃- середина ребра MВ,

Р₅- середина ребра АВ.

2. Р₁ Р₆ || Р₃ Р₅.

б) Аналогично Р₁Р₂ || Р₄Р₃.

№ 6. Точка М лежит вне плоскости треугольника АВС. Точки К, Р, Е, F – середины отрезков МА, АВ, МС, ВС. Как расположены прямые КР и ЕF?

План решения.

1. Провести МВ.

2. КР||МВ, EF||MB.

3. КР|| EF.

№ 7. На рисунке 20 точки M, H, K, P – середины соответствующих отрезков AD и DC, BC и AB. Найти периметр четырёхугольника MHKP, если МР=8см, АС=32см.

План решения.

1. МНКР – параллелограмм.

2. РК.

3. Р_МНРК.

Ответ: 48 см.

№ 8. Даны четыре точки, A, B, C, D, не лежащие в одной плоскости. Доказать, что прямые, соединяющие середины отрезков AB и CD, AD и BC пересекаются в одной точке.

План решения.

1. Провести АС.

2. Доказать, что

NKMF – параллелограмм.

3. О – точка пересечения NM и KF.

Рис. 21

№9. ABCDEF – замкнутая пространственная ломанная. Отрезки, соединяющие середины звеньев АВ и EF, ВС и ЕD , равны и параллельны. Параллельны ли звенья CD и AF?

План решения. 1. MKNP – параллелограмм. 2. AC || FD. 3. AC = FD. 4. FACD – параллелограмм. 5. Вывод.

№10. Треугольник ABC и трапеция KMNP имеют общую среднюю линию EF, причём KP || MN, EF || AC. Доказать, что

а) АС || KP; б) вычислить KP и MN, если КР:MN=3:5, АС=16 см.

План решения.

а) EF || KP, EF ||AC. Вывод.

б) 1. EF.

2. Выразить КР и MN через

переменную.

3. Составить и решить уравнение

Ответ: 6 см, 10 см.